Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 9

9.1. Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение 9.1.

Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

 (9.1).

Если ,  – вектора, то скалярное произведение обозначается:

.

Определение 9.2.

Скалярное произведение двух векторов равно длине одного вектора, умноженной на проекцию другого вектора на направление первого.

 (9.2).

Физический смысл скалярного произведения

Если – сила, приложенная к точке, которая перемещается из точки  в точку  вдоль вектора =, то работа  указанной силы определяется равенством

.

Свойства скалярного произведения

1)  - коммутативность умножения.

Доказательство.

Действительно, .

Т.к. , то .

2) .

Доказательство.

Действительно,  

.

3) .

Доказательство.

Действительно, .

Замечание 1. Согласно свойству (1) .

4)  – скалярный квадрат.

Доказательство.

Действительно,

5) Для того, что бы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Доказательство.

 Пусть ^ Þ  Þ   Þ .

 Пусть  Þ , т.к. ,  Þ  Þ   Þ ^.

Замечание 2. Линейно независимые вектора  называются ортонормированным базисом.

6) В прямоугольной декартовой системе координат скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Доказательство.

Пусть , .

.

(, ).

7) Координаты вектора в ортонормированном базисе равны числовым проекциям этих векторов на оси, т.е.

,

где , ,.

Доказательство.

 (*).

Умножим обе части равенства (*) скалярно на i. Тогда

.

Аналогично, , .

Таким образом, .

Некоторые метрические формулы

1)  Þ   Þ .

2) Пусть ,  Þ   .

Если .

3) Из формулы косинуса угла между векторами легко найти углы a, b, g, которые вектор  образует с осями координат. Эти углы называются направляющими углами.

Так как , то имеем:

,

,

.

, ,  называются направляющими косинусами вектора .

Они связаны соотношением

.

Следовательно, вектор  есть координаты вектора, называемого ортом

(вектора , обладающего условиями:  и ).

.

Векторное произведение и его некоторые свойства

(а) правая тройка векторов (б) левая тройка векторов

  - правые - левые

Т.е. имеет место круговая перестановка векторов, иначе тройка векторов меняет ориентацию.

Определение 9.3.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов  называется правой, если при взгляде с конца вектора  на плоскость, определяемую векторами   и , кратчайший поворот от  к  совершается против часовой стрелки. Если указанный поворот совершается по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Определение 9.4

Декартовая система координат называется правой (левой), если базисные векторы  образуют правую (левую) тройку векторов.

Далее для определенности будет рассматриваться только правая система координат.

Определение 9.5

Векторным произведением векторов  и  называется вектор , удовлетворяющий свойствам:

1. .

2. ^ и ^.

3. тройка векторов , ,  – правая.

Физический смысл векторного произведения

Если вектор изображает силу, приложенную в точке M, а вектор , то  выражает момент силы  относительно точки О.

Свойства векторного произведения

1) Векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда вектора-сомножители коллинеарны.

Доказательство

Пусть  и  Þ   Þ т.к. ,  Þ   Þ , т.е. ||.

 Пусть ||, тогда  Þ   Þ .

2) Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

Доказательство

Пусть  и . На отрезках [OA] и [OB] построим параллелограмм.

.

3) Векторное произведение некоммутативно, т.е. .

Доказательство

Легко видеть, что , т.к. вектора , ,  образуют правую тройку, то тройка , ,  – левая Þ т.е. вектора  и  – противоположно направлены. Следовательно, .

4) .

Доказательство

Докажем первое равенство.

В начале покажем равенство модулей.

т.к. , то .

.

Так как ||, то   .

5) а) ,

 б) .

Пусть  - правый базис, тогда:

Теорема 9.1

Векторное произведение двух векторов  и , выражается формулой:

. (9.3)

Замечание. Отметим, что последний определитель третьей степени, по сути, является символическим, так как элементами верхней строки являются вектора.

Доказательство.

Таким образом, получили разложение определителя  по первой строке.

Следствие 1.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , вычисляется по формуле:

. (9.4)

Следствие 2.

Площадь  определяется формулой:

. (9.5)

Пример 9.1.

Даны два вектора:  и .

а) найти координаты векторного произведения ;

б) найти площадь параллелограмма, и площадь треугольника, построенных на этих векторах.

а)

б) Площадь параллелограмма =

.


Частные производные и дифференциалы высших порядков