Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 10

Смешанное произведение векторов

Определение 10.1

Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема 10.1.

Смешанное произведение трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, взятому со знаком « +», если тройка  правая, и «–» , если левая.

Доказательство.

Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах , лежащий в основании указанного параллелепипеда. Его площадь  выражается формулой (9.5).

.

Пусть -неколлинеарны  параллелепипеда, построенного на векторах .

Очевидно, что знак  совпадает со знаком , а он больше нуля, когда тройка правая, и меньше нуля, когда тройка левая, что и требовалось доказать.

Следствие 1.

Векторы  компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т.е. . (10.1)

Доказательство.

Действительно, если векторы компланарны, то , равенство (10.1) выполняется.

Обратное также верно. Допустим, что векторы – некомпланарны, построим на них параллелепипед, тогда по теореме 10.1 , что противоречит условию.

Следствие 2.

Справедливо равенство:

Доказательство.

Скалярное произведение не зависит от порядка множителей, следовательно . По теореме 10.1 , =, поскольку речь идет об одном и том же параллелепипеде  и – тройки одной ориентации, поэтому в двух последних равенствах нужно брать один и тот же знак, следовательно, =.

Принимая во внимание эти равенства, смешанное произведение  и  обозначают .

 

Таким образом, .

Замечание 1. Из свойства линейности скалярного произведения следует: .

Теорема 10.2.

Пусть , , , тогда

. (10.2)

Доказательство.

, что является разложением определителя (10.2) по третьей строке.

Замечание 2. Следствие 1 теоремы 10.1 теперь можно сформулировать следующим образом:

= – необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Пример 10.1.

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах   .

По формуле (10.2) получаем: .


Частные производные и дифференциалы высших порядков