Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Аналитическая геометрия

ТЕМА: Прямая на плоскости

Определение 10.3.

Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение  (неявный вид), которому удовлетворяют координаты  любой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Замечание 3.

Уравнение  называется алгебраическим, если

, где , причем  - порядок уравнения.

Примеры 10.2.

а)  - алгебраическое уравнение 1-го порядка.

б)  - алгебраическое уравнение 2-го порядка.

в)  - не является алгебраическим уравнением.

Самым простым уравнением 1-й степени является уравнение прямой на плоскости.

10 10 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Постановка задачи.

Дано: , .

Найти: уравнение прямой , проходящей через точку и . (см. рис.)

Назовем  - нормальный вектор.

А) Выберем на  произвольную точку . Найдем координаты . Т.к. , то  

(10.3)

- уравнение , отвечающее всем требованиям определения (10.3).

Б) Пусть , тогда , т.е.  и условие определения (1) не выполняются.

Следовательно, уравнение (10.3) – уравнение прямой по точке и нормальному вектору.

20 Общее уравнение прямой

Из уравнения (10.3) с помощью элементарных преобразований получим: ,

(10.4)

- общее уравнение прямой.

Частные случаи уравнения (10.4):

1) , 2) , 3)

4) , 5)

30 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть , , причем если

, то ;

, то ;

, то ;

 при .

Разрешим общее уравнение прямой (10.4) относительно :   . Пусть , тогда

(10.5)

,

где  - угловой коэффициент прямой,  - отрезок, который отсекает данная прямая на оси .

Замечание 4. Если , то  - прямая проходит через начало координат; если , то  - семейство прямых, параллельных оси .

40 Векторное, параметрическое и канонические уравнения прямой

Определение 10. 2

Всякий ненулевой вектор  параллельный прямой  называется направляющим вектором этой прямой. ().

Пусть точка , тогда произвольная точка  лишь при условии, когда вектор  коллинеарен . Это означает, что:

(10.6)

- векторное уравнение прямой.

С другой стороны, всякая точка , для которой выполняется уравнение (10.6) принадлежит  в силу определения произведения вектора на число. Таким образом, точка , тогда и только тогда, когда выполняется условие (10.6).

Если обозначить радиус-вектора точек ,  через  и , соответственно, то , тогда:

(10.6’)

.

Если , , , то (10.6) в координатах запишется:

(10.7)

- параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через точку   в направлении .

Исключая из уравнений (10.7) параметр , получаем:

(10.8)

- каноническое уравнение прямой.

Уравнение (10.8) необходимо воспринимать как пропорцию: если , то это прямая, параллельная оси , проходящая через точку .

Замечание 5.

Приведем уравнение (10.8) к общему знаменателю:

   - общее уравнение прямой.

В задачах  часто обозначают .

Если  - нормальный вектор, то  - направляющий вектор.

Вместе с каноническим уравнением (10.6) используется уравнение прямой, проходящей через две точки: если , , то .

Можно в качестве направляющего вектора принять , тогда:

(10.9)

- уравнение прямой, проходящей через две точки  и .


Частные производные и дифференциалы высших порядков