Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Пример 12.1.

Уравнение окружности  привести к каноническому виду.

, , , .

20 Эллипс.

Геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек  и , называемых его фокусами, есть величина постоянная, и называется эллипсом.

Отметим на оси  две точки: ,  т.е.  (фокусное расстояние). Пусть   - произвольная точка эллипса.

Фокальными радиусами () точки  эллипса называются отрезки прямых, соединяющих эту точку с фокусами  и :

(12.5)

, где .

Выведем уравнение эллипса.

. По определению (12.2) имеем:

 - иррациональное уравнение.

, , , , , , т.к. , , т.е. ,

Введем обозначение  (12.5).

Тогда .

Поделим обе части на (), получим:

(12.6)

.

- каноническое уравнение эллипса.

Если точка  не принадлежит эллипсу, то , а это значит, что координаты точки  не удовлетворяют уравнению (12.6).

Проведем исследование полученного уравнения, для чего разрешим его относительно . ,

(12.6’)

.

Т.к.  и  в уравнение эллипса входят в четных степенях, то график функции симметричен как относительно , так и относительно . Т.о. исследование достаточно провести только для I четверти.

При , при . Если  на промежутке , то  на промежутке . Имеем дугу эллипса, .

Отрезок  называется большой полуосью,

отрезок  называется малой полуосью.

Замечание 3.

Уравнение (12.6) можно рассматривать и в случае , тогда  - большая полуось и фокусы эллипса лежат на оси .

Замечание 4.

В случае, когда , уравнение (12.6) вырождается в окружность с центром в начале координат .

Определение 12.3.

Отношение  (фокусного расстояния к длине большой оси) называется эксцентриситетом эллипса и обозначается

 (12.7)

Т.к. , то .

Эксцентриситет характеризует форму эллипса (степень сжатия).

Так, если полуось  фиксирована, то форма будет зависеть только от расстояния между фокусами. Если фокусы сближаются, то , т.к. . Если фокусы отодвигаются от начала координат, то эллипс сплющивается и когда фокусы совпадают с концами большой оси, эллипс вырождается в отрезок, для которого , т.к. .

Из формул для  и , а также (12.6’) можно получить формулы для фокальных радиусов:

(12.8)

.

Если центр эллипса перенести в точку , то уравнение эллипса примет вид: .

Замечание 5.

Уравнение  определяет мнимый эллипс.

Уравнение  - определяет точку.

Выясним, при каких коэффициентах алгебраическое уравнение (12.3) определяет эллипс, мнимый эллипс или пару мнимых пересекающихся прямых (точку).

, , .

Таким образом,  (**).


Частные производные и дифференциалы высших порядков