Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Пример 12.2.

Уравнение эллипса , привести к каноническому виду.

, , . Центр: , , , .

20 Гипербола.

Определение 12.4.

Геометрическое место точек, абсолютная величина разности каждой из которых до двух данных точек  и , называемых его фокусами, есть величина постоянная, и называется гиперболой.

(12.9)

Из   или .

Равенство (12.9) можно переписать в виде: , , , , , ,

(12.10)

.

- каноническое уравнение гиперболы

Если точка  не принадлежит гиперболе, то , то это значит, что координаты точки  не удовлетворяют уравнению (12.10).

Разрешим уравнение (12.10) относительно : ,

(12.10’)

.

По аналогии с эллипсом проведем исследование только для I четверти (симметрия относительно  и ).

. Значит в полосе между прямыми  и  нет ни одной точки гиперболы.

Покажем, что дуга гиперболы неограниченно приближается к прямой, определяемой уравнением  при ее неограниченном удалении от начала координат. Т.е. .

Действительно, .

Гипербола и прямая общих точек не имеют, т.к. система их уравнений не имеет решений.

Итак,

(12.11)

.

- асимптоты гиперболы


Частные производные и дифференциалы высших порядков