Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 13

Построение гиперболы

При построении гиперболы необходимо построить прямоугольник со сторонами   и  и провести диагонали, которые и являются асимптотами (см. рис.). ,  - вершины гиперболы,  - действительная полуось,  - мнимая полуось,  - центр гиперболы.

Если , то гипербола называется равносторонней, ее уравнение имеет вид:

(13.1)

.

Уравнение

(13.2)

определяет гиперболу с действительной осью .

Гиперболы, определяемые уравнениями (12.10) и (13.2) называются сопряженными.

Если центр гипербол перенести в точку , то уравнение примет вид: .

Замечание 1.

Уравнение  определяет семейство прямых.

Можно выяснить при каких коэффициентах уравнение (12.3) будет определять гиперболу или семейство прямых.

По аналогии с эллипсом - при  (*).

Определение 13.1.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение ее фокусного расстояния к расстоянию между вершинами.

Если  - действительная ось, то .

Так как для гиперболы , то , , тогда ,

(13.3)

.

Следовательно, эксцентриситет гиперболы характеризует форму прямоугольника и форму самой гиперболы.

(13.4)

,

- формулы фокальных радиусов.

Директрисы эллипса и гиперболы.

Определение 13.2.

Директрисами эллипса (гиперболы) называются прямые, перпендикулярные большой оси эллипса (действительной оси гиперболы) и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии .

. (13.5)


А)

Т.к.

Б)

Т.к.

Директрисы эллипса и гиперболы не имеют с кривыми общих точек.

Теорема 13.1.

Отношение расстояния  произвольной точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию  этой точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса (гиперболы).

(13.6)

.

Доказательство.

Рассмотрим левый фокус и левую директрису эллипса. Пусть эллипсу, тогда , ; . Если гиперболе (левой ветви), то , ; . Остальные случаи рассматриваются аналогично.


Частные производные и дифференциалы высших порядков