Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Парабола.

Определение 13.3.

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, называемой директрисой и точки, называемой фокусом.

Пусть дано: , : , .

Любая точка  принадлежит параболе  (), т.е. если ; , то

,   

(13.7)

 -

- каноническое уравнение параболы ().

Здесь  - параметр,  - вершина параболы, симметрична относительно оси , ветви направлены вправо.

 (13.8)

 

- уравнение директрисы.

Замечание 2.

Если фокус параболы расположен на оси , то уравнение будет иметь вид:   (13.9)

Замечание 3.

 - уравнение параболы с вершиной в точке .

Замечание 4. Частные случаи:

А)  - пара параллельных прямых;

Б)  - уравнение не определяет линию;

В)  - пара совпадающих прямых.

Выясним, при каких коэффициентах уравнение (12.3) определяет параболу

, , .

Возможно А=0 или С=0 т.е. . Таким образом: :

Пример 13.1

Определить вид кривой и построить ее: .

, . , но т.к. , то ветви направлены влево.

60 Упрощение общего уравнения второй степени.

Пусть кривая второго порядка задана уравнением

.

Перейдем к новым координатам по формулам

, т.е. повернем плоскость  на .

, где

,

,

.

Угол поворота выберем так, чтобы , т.е. ,    или

(13.9)

.

Если ,   , , .

Утверждение. Коэффициенты  и  одновременно в нуль не обращаются.

Доказательство.

Пусть     вычтем из первого второе, получим:

, , , . Т.о.   .

Это возможно только в случае , что противоречит условию .

Пример 13.2.

Определить вид, параметры и расположение линии, заданной уравнением .

, .

По формулам (19)  для системы координат .

,

, ,  - уравнение эллипса.   - перешли в систему , , .


Частные производные и дифференциалы высших порядков