Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Свойства определителей

Значение определителя не меняется при транспонировании матрицы (замен всех его строк соответствующими столбцами).

Проверим для..

.

Замечание 4. Свойство  устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк, и для столбцов, а доказывать только для строк или только для столбцов.

. При перестановке двух строк значение определителя меняет знак, сохраняясь по абсолютной величине.

Проверим для..

.

Проверим для .

Разложим по второй строке:

, поменяем 1 и 3 строки. Каждое  поменяет знак, т.к. является определителем второго порядка, у которого строки поменялись, следовательно:

.

. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Проверим для .

Допустим совпадают 1 и 3 строки

.

. Общий множитель всех элементов какой-либо строки можно вынести за знак определителя (т.е. при умножении определителя на число, все элементы какой-либо одной строки умножаются на это число).

Доказательство.

Пусть,   

Применяя теорему разложения, разложим  по -той строке:

.

. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство.

Пусть -тая и -тая строки пропорциональны:

. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен нулю.

Доказательство.

Если все элементы строки равны нулю, то разлагая определитель по этой строке, получим, что он равен нулю.

. Если два определителя одного порядка отличаются только элементами одной строки, то сумма таких определителей равна определителю с элементами указанной строки, равными суммам соответствующих элементов этой строки данных определителей.

.

Доказательство.

.

. Значение определителя не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Доказательство.

Пусть  

Тогда, по свойству (7):

.

Пример 1.4.

Вычислить .

Решение.

Пользуясь свойством (8), прибавим элементы третьей строки, умноженные на (-2) к элементам первой строки, а также элементы третьей строки, но умноженные на (-3), к элементам второй строки. При этом значение определителя сохранится, но два элемента первого столбца окажутся нулями.

Пример 1.5.

С помощью теоремы разложения разложить определитель по 1-ой строке:

2) Вычислить определители удобным способом:

 3) .

Следствие теоремы 1.1.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

 (1.9)

Доказательство.

.

Вычисление определителя только по теореме разложения не рационально. Таким способом, например, ЭВМ с быстродействием 1 млн. операций в секунду определитель  порядка будет вычислять несколько миллионов лет. Существенно упрощает вычисление определителей высоких порядков использование свойств (4) и (8), причем, основным инструментом является свойство (8). С использованием этих свойств тот же определитель  порядка может быть вычислен за 1 секунду.

Теорема (замещения).

Пусть Δ – некоторый определитель третьего порядка. Сумма произведений алгебраических дополнений элементов какой-нибудь строки (столбца) на любые числа , ,  равна определителю Δ', который получается из данного определителя заменой упомянутой строки (столбца) строкой (столбцом) из чисел , , .

Пример 1.6.

Пусть    . Построить .

Проверить, что .

 Теорема 1.3 (аннулирования).

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство.

Докажем к примеру, что сумма произведений элементов второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов первого столбца равна нулю. Пусть задан определитель (1.5). Тогда имеем разложение (1.6)

.

Алгебраические дополнения , ,  не зависят от самих элементов , , . Поэтому если в обеих частях равенства (1.6) числа , ,  заменить произвольными числами , , , то получится верное равенство

 (1.10).

Если теперь в равенстве (1.10) в качестве , ,  взять элементы , ,  второго столбца, то согласно свойству (3) определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.


Частные производные и дифференциалы высших порядков