Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Уравнение прямой в пространстве

Поскольку пересекающиеся плоскости пересекаются по прямой, то (14.10), причем  (14.11).

Система уравнений (14.10) с условием (14.11) называется общим уравнением прямой в пространстве. Данная система линейных неоднородных уравнений совместна и имеет общее решение следующего вида:

(14.12)

,

где  – частное решение (14.10),  – фундаментальная система решений соответствующей системы линейных однородных уравнений.

Геометрически (14.12) означает:

Пусть точка . Любая точка  получается прибавлением к радиус-вектору точки  некоторого вектора, коллинеарного  - направляющего вектора прямой.

Уравнение (14.12) можно переписать в виде  или

, (14.13)

 – векторно-параметрическое уравнение прямой  или

 (14.14)

– параметрические уравнения прямой в пространстве.

Исключая параметр , получим:

(14.15)

– канонические уравнения прямой в пространстве.

Здесь равенства (14.15) следует воспринимать как пропорцию.

Пример 14.3.

Пусть прямая задана каноническими уравнениями  (*).

Тогда уравнения (*) равносильны системе: , .

Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки   и , то  – направляющий вектор, тогда

(14.16)

– уравнение , проходящей через 2 точки.

Утверждение 14.6.

Если прямая , задана как пересечение двух плоскостей системой (14.10), то вектор  (14.17)

– является направляющим вектором , т.е. .

50 Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть ; .

 и  либо пересекаются, либо параллельны (в частном случае совпадают), либо скрещиваются.

. В случае если  или пересекаются, существует плоскость, которой прямые принадлежат. Поэтому выполняется условие:

. (14.18)

Утверждение 14.7.

Прямые  и  скрещиваются тогда и только тогда, когда

. (14.19)

Если прямые пересекаются, то может решаться задача нахождения угла между прямыми. В этом случае угол определяется углом между направляющими векторами.

Если прямые параллельны, то возникает задача нахождения расстояния между ними:

Плоскость, содержащая параллельные прямые, имеет вектор нормали: , .

(14.20)

.

Замечание:

A) , т.е. .

B) , т.е. .

Если прямые скрещиваются, то расстояние между ними равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах , т.е.

(14.21)

.


Частные производные и дифференциалы высших порядков