Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 15

Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве

1). Найти угол между прямой и плоскостью.

Углом между  и  называется угол между  и ее проекцией на .

. . Тогда

(15.1)

 или .

2). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую , заданную уравнением  и найти расстояние от точки до прямой.

Построим плоскость , содержащую точку  и прямую . Уравнение этой плоскости имеет вид:  Построим также плоскость , проходящую через точку , перпендикулярно прямой :

.

Система этих двух уравнений и дает искомый перпендикуляр.

. (15.2)

3). Написать уравнение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым  и .

Пусть ,  и , , тогда  - является направляющим вектором искомого перпендикуляра.

а)  - вектор нормали плоскости , которая содержит прямую  и  (или содержит искомый перпендикуляр).

,

Система этих двух уравнений задает искомый перпендикуляр.

Замечание: 1) , т.е. .

2) , т.е. .

Поверхности II порядка

Алгебраическое уравнение II степени относительно 3-х переменных   вида:

(*)

,

где , ,

определяет поверхность II порядка.

Будем изучать случаи, когда . Уравнение (*) при перечисленных условиях может определять сферу, эллипсоид, параболоид, цилиндрическую поверхность, коническую поверхность и гиперболоиды в зависимости от коэффициентов.

I тип задач

(по геометрическим свойствам поверхности определяется уравнение)


Частные производные и дифференциалы высших порядков