Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 16

6) Двуполостный гиперболоид

Определение 16.1.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

. (16.1)

С помощью аналогичного исследования нетрудно установить вид поверхности.

В сечениях плоскости oXZ (y=o) и oYZ (x=0) получаются гиперболы

.

При сечениях z=h:

а) при  плоскость пересекает поверхность по эллипсу;

б) при  плоскости  касаются поверхности в точках (0;0;);

в) при  точек пересечения плоскости  с поверхностью не существует (мнимый эллипс).

Итак, двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши.
7) Эллиптический параболоид

Определение 16.2.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

 где - параметры. (16.2)

С помощью сечений исследуем эту поверхность:

1)  и  (16.3).

(В сечениях параболы: OZ – ось симметрии, O(0;0;0) – вершина)

2)  

а) при h>0 сечения – эллипсы;

б) при h=0 плоскость z=0 касается параболоида (эллипс вырождается в точку);

в) при h<0 – мнимый эллипс.

Подпись: Эллиптический параболоид – бесконечно выпуклая чашаЕсли p=q, эллиптический параболоид можно рассматривать, как поверхность, образованную вращением параболы вокруг ее оси (параболоид вращения).

8) Гиперболический параболоид

Определение 16.3.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

 (p,q>0). (16.3)

Установим геометрический вид поверхности:

Рассмотрим сечения:

1) . В сечении парабола, OZ – ось симметрии, ветви направлены вверх, вершина – в начале координат.

2). В сечении – такие же (как в (1)) параболы .

3) . В сечении парабола, OZ – ось симметрии, ветви направлены вниз, вершина – в начале координат.

4) . В сечении  такие же параболы, как в (3).

5)  или .

а) приh>0 в сечении гиперболы в плоскости OXZ;

б) при h<0 в сечении гиперболы в плоскости OYZ;

в) при h=0 в сечении гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых.

Таким образом имеем седлообразную поверхность.

(0;0;0) – вершина, p,q – параметры.


Частные производные и дифференциалы высших порядков