Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 17

Ограниченные и неограниченные множества

Пусть X – числовое множество.

Определение 17.1.

А). Множество X ограниченно снизу тогда и только тогда, когда

.

В). Множество X ограниченно сверху тогда и только тогда, когда .

С). Множество X ограниченно тогда и только тогда, когда X ограниченно сверху и снизу:

 т.е. .

Очевидно, что любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних граней).

Естественно возникает вопрос о существовании наименьшей из верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних граней ограниченного снизу множества.

Определение 17.2.

А). Число M называется точной верхней гранью, если оно является наименьшим из всех верхних граней.

Б). Число m называется точной нижней гранью, если оно является наибольшим из всех нижних граней.

Пример17.1

Для множества  указать точную верхнюю и точную нижнюю грани.

(Ответ: ; ).

Теорема17.1.

Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство

Пусть X – непустое множество, ограниченное сверху. Тогда существует множество Y чисел, ограничивающих множество Х сверху.

Из определения следует: .

Причем, , тогда т.к.  - с- верхняя грань,

 наименьшая из верхних граней, следовательно .

Случай существования точной нижней грани рассматривается аналогично.

§2 Предел числовой последовательности

Пусть каждому по некоторому закону поставлено в соответствие действительное число xn. Тогда говорят, что определена последовательность чисел x1,x2,…,xn или {xn}.

 Число xn –элемент последовательности.

Пример 17.2.

1) ;

 2) .

Если xn=const, то последовательность называется постоянной.

Последовательность {xn} ограничена, если .

Определение 17.3.

Число а называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого положительного числа  ε существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство .

Обозначение:  или .

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, не имеющая его – расходящейся.

Пример 17.3.

Определить предел последовательности .

(Ответ: .)

Геометрический смысл предела числовой последовательности

Число a – предел последовательности xn, если в любую окрестность числа а, начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности .


Частные производные и дифференциалы высших порядков