Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 18

Число е

Рассмотрим последовательность {xn} с общим членом .

Докажем, что она сходится.

Для этого достаточно доказать:

{xn} возрастающая;

{xn} ограничена сверху.

Рассмотрим  и докажем, что последовательность {yn} убывает, т.е .

Докажем, что она сходится.

Доказательство

Замечание1. Неравенство (*) верно: знаменатель увеличили, дробь уменьшилась.

Обозначим .

Итак, , т.е. последовательность {yn} убывающая.

Так как , то последовательность ограничена, т.е. существует предел последовательности .

Замечание2. В доказательстве использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической последовательности:  

Обозначим

Таким образом .

 называют вторым замечательным пределом

Функции одной переменной

Понятие функции

Определение 18.1.

Пусть x и y – некоторые числовые множества. Если каждому элементу множества X единственным образом соответствует элемент множества Y, то это соответствие называется функцией.

Обозначение: .

Здесь y – зависимая переменная, х – независимая переменная (аргумент)

X – обл. определения (существования) функции (D(f));

Y – множество значений функции (E(f)).

Определение 18.2.

Пусть f(x) определена на некотором множестве X.

f(x) ограничена сверху (снизу), если:

.

Условие ограниченности:.

Пример 18.1.

Показать, что  – ограниченная функция.

().

Способы задания функции

Аналитический

При аналитическом способе задания функция задается с помощью формул:

А) в явном виде

Функция разрешена относительно y: .

Б) в неявном виде

Функция не разрешена относительно y:.

В некоторых случаях от неявно заданной функции можно перейти к явному виду, иногда это сделать невозможно:

Пример 18.2.

.

При аналитическом способе функцию можно задать:

а) несколькими выражениями:

Пример 18.3.  Signum (лат.)-знак.

б) параметрически:


Частные производные и дифференциалы высших порядков