Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 20

Непрерывность функций в точке

20.1.Основные понятия

Определение 20.1.

Функция определенная в некоторой окрестности точки , включая саму точку, называется непрерывной в этой точке, если

 (20.1)

Замечание 1. Таким образом, согласно определению 20.1. предел функции и ее значение в точке равны.

Определение 20.2.

Функция f(x) непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда для любой последовательности  из некоторой окрестности точки , сходящейся к , соответствующая последовательность  сходится к .

Определение 20.3

 непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда:

 .

Пусть .

Тогда величина  называется приращением аргумента.

 называется приращением функции.

Преобразуем формулу (20.1):

.

Определение 20.4.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при

Замечание 2. Определения 20.1-20.4 эквивалентны.

Теорема 20.1.

Пусть функции  и  непрерывны в точке . Тогда , (если) также непрерывны в этой точке.

20.2. Непрерывность элементарных функций

Простейшие элементарные функции:

.

Замечание 3. Арифметические действия от этих функций назовем элементарными функциями.

Пример 20.1.

Показать, что , , ,  - непрерывные функции.

а) . .

б). 1). Докажем для :

.

Поэтому .

2). В силу теоремы 20.1  - непрерывная функция, т.к.

в).

г). .

Замечание 4. 1) ;

2)

20.3. Гиперболические функции

Гиперболическими называются следующие функции:

 - гиперболический синус,

 - гиперболический косинус,

 - гиперболический тангенс,

 - гиперболический котангенс.

Гиперболические функции являются непрерывными функциями (это следует из непрерывности показательных функций).

Имеют место следующие формулы:

Сложная функция

Определение 20.5

Пусть заданы функции : область определения функции f(x) содержит область значений функции (x).

Тогда определена функция называемая сложной функцией.

Теорема20.1.

Если  непрерывна в точке , а  непрерывна в точке , то  непрерывна в точке .

Доказательство:

 (в силу непрерывности функции).

Также в силу непрерывности функции имеем:

 т.е. .

Теорема20.2 (об ограниченности непрерывных функций).

Если функция f(x) непрерывна в точке , то существует окрестность этой точки, на которой f(x) ограничена.

Доказательство:

.


Частные производные и дифференциалы высших порядков