Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Обратная функция

Определение 20.6.

Пусть X и Y - некоторые множества и задана функция f(x), т.е. множество пар чисел (x, y): , причем.

Если в каждой паре множества числа х и у поменять местами, то получим (у; х):.

Данное множество называется обратной функцией  к функции .

Обозначение:.

Определение 20.7

Пусть функция f(x) определена на множестве  и пусть.

Тогда говорят, что

а) не возрастает, если ; б) не убывает, если ;

в) возрастает, если ; г) убывает, если .

Замечание 5. Такие функции называются монотонными.

В случаях в) и г) говорят, что f(x)-строго монотонная функция.

Теорема 20.2 (о непрерывности обратной функции).

Пусть функция , определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке  и пусть  - множество ее значений. Тогда на множестве   обратная функция однозначна, строго монотонна и непрерывна.

20.6. Точки разрыва функции

Определение 20.8.

Пусть функция f(x) определена на интервале (а;b); кроме может быть точки . Точка  называется точкой разрыва функции , если функция  не определена в точке , или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Определение 20.9.

Будем говорить, что функция f(x) непрерывна в точке  справа (слева), если:

.

Теорема 20.3.

Функция  непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и в самой точке  и существуют пределы:

.

Определение 20.10.

Если  - точка разрыва функции  и существуют конечные пределы

,

то точка  называется точкой разрыва первого рода. Величина  называется скачком функции  в точке .

Если , то точку называют точкой устранимого разрыва (т.е. ее можно доопределить до непрерывной функции).

Определение 20.11.

Точка разрыва функции , не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода (к примеру, один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности).

Пример 20.2.

( - разрыв второго рода);

.( - разрыв первого рода);

 (устранимый разрыв)

20.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение 20.12.

Функция, определенная на отрезке  и непрерывная в любой точке этого отрезка, называется непрерывной на этом отрезке (причем должна быть непрерывность на границах: слева справа соответственно).

Теорема 20.4 (Вейерштрасса).

Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней и своей нижней грани.

Определение 20.13.

Функция  определена на множестве E, достигает на нем своей верхней (нижней) грани , , если:

.

Теорема 20.5 (Больцано-Коши).

Пусть  непрерывна на отрезке  и на концах отрезков принимает разные значения, тогда:

.

Следствие.

Пусть  непрерывна на отрезке  и , . Тогда

 


Частные производные и дифференциалы высших порядков