Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 21

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

21.1. Производная функции

Пусть функция определена на множестве , .

Определение 21.1

Производной функции  в точке  называют ,

если он существует и конечен.

Замечание 1. Если , то говорят, что функция имеет бесконечную производную знака «+» или «–».

Обозначения: .

Пример 21.1.

Найти производную функции .

.

 

Пример 21.2.

Найти производную функции .

.

.

Определение 21.2.

 – правосторонняя производная;

 – левосторонняяпроизводная.

Теорема 21.1.

Функция  имеет производную в точке , тогда и только тогда, когда существуют левые и правые производные и они равны.

Замечание 2. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

21.2. Дифференциал функции

Определение 21.3.

Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее приращение  в этой точке можно представить в виде:

, (21.1)

 где ,  – бесконечно малая функция.

Замечание 3. В формуле (21.1)  (читают: А от ) – главная линейная относительно  часть приращения называется дифференциалом функции   в точке  и обозначается  или :

 (21.2)

Таким образом, . Если обозначить , то

. (21.3)

Теорема 21.2.

Для того чтобы функция  была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Теорема 21.3.

Если функция  дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание 4. Обратное утверждение неверно!

Обозначение: .

Итак,  или

. (21.4)

21.3. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала

Пусть функция  определена на интервале , причем точки ,  принадлежат графику функции, тогда, МР – секущая.

.

Если существует предел, то прямую с угловым коэффициентом  называют предельным положением секущей MP при  (или касательной) (MS). (То есть ).

Из   .

Геометрический смысл производной.

Производная функции в точке  равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  в точке .

 – уравнение касательной.

Физический смысл производной.

Пусть  – закон движения точки; тогда за время   будет пройден путь . За время : .

Если , , то  – средняя скорость за время .

Таким образом,  – мгновенная скорость точки в момент времени .

Геометрический смысл дифференциала.

, .

Дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика.


Частные производные и дифференциалы высших порядков