Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Физический смысл дифференциала.

Если производная позволяет оценить скорость изменения некоторой величины, то  равен расстоянию, которое прошла бы точка за , если бы двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости момент .

21.4. Использование дифференциала для приближенных вычислений

, то есть дифференциал по определению есть главная часть приращения функции .

, (21.5)

где  при .

Следовательно  или

, где  (21.5’)

Пример 21.3.

Пусть , где , Вычислить .

.

Итак, .

Замечание 5. В практическом вычислении производных обычно пишут не , а просто , но при этом  считают фиксированным.

21.5. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного

Теорема 21.4.

Если функции  и  дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (если ) также дифференцируемы в этой точке и справедливы следующие формулы:

1) ; (21.6)

2); (21.7)

3) . (21.8)

Доказательство.

Докажем первую формулу. Пусть задано приращение  аргумента в точке и соответствующее приращение функции:

.

.

Формулы (21.7) и (21.8) доказываются аналогично

(доказать самостоятельно).

Следствие.

Пусть функция  имеет производную в точке. Тогда функция

 (где ) также имеет в этой точке производную и

, (21.9)

то есть постоянная величина выносится за знак производной.

Замечание 6. Аналогичная формула для дифференциала.


Частные производные и дифференциалы высших порядков