Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 23

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 23.1 (Ферма).

Пусть функция  определена на интервале  и в некоторой точке   этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке  существует производная, то она равна нулю, то есть

.

Доказательство.

Пусть для определенности функция  принимает наибольшее значение в точке , т.е. , .

Тогда .

Так как производная в точке  существует, то

.

Геометрический смысл.

Касательная к графику параллельна оси .

Замечание 1.

Если функцию  рассматривать на отрезке , то теорема не верна.

Пример 23.1.

Пусть задана функция.

В точке  функция принимает

наименьшее значение,

в точке  – наибольшее значение.

.

Теорема 23.2 (Ролля).

Пусть функция  определена на отрезке  и

1) функция  непрерывна на отрезке ;

2) функция  дифференцируема на интервале ;

3) функция .

Тогда .

Доказательство.

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда

и

(по теореме Вейерштрасса).

Таким образом: .

1) Если , то .

2) .

Следовательно, поскольку , то либо наибольшее, либо наименьшее значение достигается внутри интервала.

Т.к. функция  дифференцируема,

то  (т. Ферма).

Геометрический смысл.

Касательная параллельна оси  внутри интервала .

Теорема 23.3 (Лагранжа).

Пусть функция  определена на отрезке  и

1) функция  непрерывна на отрезке ;

2) функция  дифференцируема на интервале .

Тогда . (23.1)

Замечание 2.

Формула (23.1) – формула Лагранжа или формула конечных приращений.

Геометрический смысл.

 – угловой коэффициент секущей .

 (касательная параллельна секущей).

Таких точек может быть несколько, по крайней мере, одна всегда существует.

Замечание 3.

Т.к. , то , то есть  (23.)

Замечание 4.

Если , то

, (23.)

где  

Формула (23.) описывает приращение функции через произвольное приращение аргумента. 

Теорема 23.4 (Коши).

Пусть функции  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале .

Тогда  . (23.2)

(23.2) – формула Коши или обобщенная формула конечных приращений.

Замечание 5. Формула (23.2) верна и для .

Замечание 6.Если положить , то получим формулу Лагранжа (частный случай формулы Коши).


Частные производные и дифференциалы высших порядков