Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Раскрытие неопределенностей

а) Раскрытие неопределенностей вида

Теорема 23.5 (первое правило Лопиталя).

Пусть функции  и  определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . Пусть  в окрестности точки .

Тогда, если существует  (конечный или бесконечный), то и существует, причем справедлива формула:

. (23.3)

Доказательство.

Пусть  – произвольная последовательность и . Доопределим функции   и  в точке , . Тогда  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале  и по условию .

По теореме Коши на интервале

,

то есть:

.

Рассмотрим предел при . Тогда . Т.к. существует предел справа, то и существует предел слева и:

.

Т.к.  – произвольная последовательность, то

.

Замечание 7. Правило Лопиталя – это правило сравнения скоростей.

Замечание 8.

При необходимости правило Лопиталя применяется несколько раз.

Замечание 9. Теорема остается верной при   .

Доказательство.

.

Пример 23.2.

Найти предел .

.

б) Раскрытие неопределенностей вида

Теорема 23.6 (второе правило Лопиталя).

Пусть функции  и  определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки .

Пусть  в окрестности точки  и существует предел (конечный или бесконечный), тогда существует предел

. (23.3’)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 23.5 (доказать самостоятельно).

Пример 23.3.

Найти предел .

.

Пример 23.4.

При вычислении предела  правило Лопиталя применить нельзя, поскольку предел не существует.

в) Раскрытие неопределенностей других видов

Часто встречаются неопределенности следующих видов:

.

Все они сводятся к изученным выше двум неопределенностям путем алгебраических преобразований.

Рассмотрим некоторые из них.

Пример 23.5.

1) , где  т.е. имеем .

Можно записать:  т.е. рассматривать предел:

.

2) , то есть имеем

.

3)  , где , то есть имеем .

Пример 23.6.

Найти предел .

.


Частные производные и дифференциалы высших порядков