Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 24

ТЕМА Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков

Признак монотонности функций

Теорема 24.1.

Если функция дифференцируема на интервале и на то функция не убывает (не возрастает) на.

Доказательство.

Пусть и , причем .

Тогда на отрезке  выполняется условие теоремы Лагранжа:

.

Замечание 1. Теорема верна и для строго монотонных функций .

Отыскание локального экстремума

Определение 24.1.

Точка  называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции , если:

 , ().

Замечание 2. Точки локального максимума и локального минимума функции  называются точками локального экстремума.

Теорема 24.2 (необходимое условие локального экстремума).

Если функция дифференцируема в точке , и в ней имеет локальный экстремум, то .

Доказательство.

Так как функция  в точке  имеет локальный экстремум, то существует , в которой функция   является наибольшим или наименьшим значением среди всех других значений этой функции.

Тогда по теореме Ферма .

(Обратное утверждение в общем случае не верно!)

Геометрический смысл.

В точках локального экстремума касательная параллельна оси OX .

Замечание 3. Точки, где  называются стационарными точками, или точками возможного экстремума.

Пример 24.1.

Пусть задана функция .

Пусть ,.

Следовательно,  - стационарная точка, не является точкой локального экстремума.

Теорема 24.3 (I достаточное условие локального экстремума).

Пусть функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки .  Тогда, если , при , а   при , то в точке  функция имеет локальный максимум (локальный минимум).

Если же  во всей -окрестности точки  имеет один и тот же знак, то в точке  локального экстремума нет.

Доказательство.

Пусть , причем  для  и  для .

Тогда по теореме 24.1 функция возрастает на промежутке  и убывает на промежутке , то есть  . Это означает, что  - точка максимума.

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

Пример 24.2.

 ,

.

- стационарная точка, не являющаяся точкой экстремума.

Замечание 4.

В точке экстремума производная может не существовать или обращаться в бесконечность (критическая точка!), но обязательно меняет в ней знак. В этом случае экстремум называют острым (в противоположность гладкому экстремуму, который имеет функция с непрерывной производной).

Теорема 24.4 (2-е достаточное условие экстремума).

Пусть функция имеет в точке  (точке возможного экстремума) конечную вторую производную. Тогда функция  имеет в точке  максимум, если  и минимум, если .

Пример 24.3.

.

.

 - точка максимума,  - точка минимума.

- стационарные точки.


Частные производные и дифференциалы высших порядков