Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции

Определение 24.2.

Функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на отрезке  в точке .

Теорема 24.5.

Непрерывная функция принимает наибольшее (наименьшее) значение либо на концах интервала, либо в стационарных точках, либо в точках, где производная не существует.

Пример 24.4.

Найти наименьшую длину забора , с помощью которого можно огородить участок в форме прямоугольника площадью , примыкающий к стене.

 

 , .

4. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба

Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b).

Тогда существует касательная в любой точке этого интервала.

Определение 24.3.

Будем говорить, что функция f(x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вверх (вниз), если график функции расположен не выше (не ниже) касательной к нему на (a, b).

выпукла вниз

 

Теорема 24.6.

Если функция y=f(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и  во всех точках интервала (a, b), то график функции имеет выпуклость, направленную вниз (вверх).

Пример 24.5. (см. пример 24.3.).

.

Определение 24.4.

Точка  называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в точке M график имеет касательную и существует окрестность точки, в пределах которой график y=f(x) слева и справа от точки  имеет разные направления выпуклости.

Теорема 24.7. (необходимое условие точки перегиба).

Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке  и пусть функция y=f(x) имеет в точке  непрерывную производную.

Тогда .

Теорема 24.8 (достаточное условие точки перегиба).

Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности  имеет разные знаки,

то  - точка перегиба.

Пример 24.6.

а) Для функции из примера 24.3.:

 

 .

б)  

+

 

+

 

0

 
 не является

точкой перегиба

 


5. Асимптоты графика функции.

Определение 24.5.

Прямая называется асимптотой графика функции y=f(x), если расстояние от точки, принадлежащей графику до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки по графику функции от начала координат.

Существуют три типа асимптот:

вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение 24.6.

Прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений

 или  равно .

Пример.24.7.

 - вертикальная асимптота.

Определение 5.12.

Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при , если функция f(x) представима в виде:

 где .

Теорема 5.21.

Для того, чтобы график функции y=f(x) имел при  наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предельных значения:

 , . (24.1)

Замечание 5.

Аналогично определяется наклонная асимптота для случая .

Пример. 24.8.

График функции  имеет наклонную асимптоту  при  и вертикальную асимптоту

Схема исследования графика функции

1. Найти область определения функции, ее точки разрыва.

2. Найти асимптоты графика функции.

3. Найти точки пересечения с осями.

4. Найти стационарные точки.

5. Найти точки подозрительные на перегиб.

6. Исследовать на существование точек, в которых первая или вторая производная не существует, то есть критических точек.

7. Исследовать знак первой и второй производной. Определить участки возрастания и убывания функции, направления выпуклости, точки экстремума и перегиба.


Частные производные и дифференциалы высших порядков