Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 25

Функции двух переменных

25.1. Основные понятия

В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:

  ,

 - работа тока на участке цепи и др.

Далее остановимся на случае функции 2 переменных.

Определение 25.1.

Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y , из некоторой области их изменений D, соответствует одно определенное значение величины z, то говорят, что z – есть функция двух независимых переменных x и y , определенная  в области D (область определения функции).

Обозначение: z = f(x,y)=g(x,y)…

25.2. Способы задания функции

Табличный

S=S(x,y)

y\x

1

1.5

2

1

1

1.5

2

5

5

7.5

10

 

Аналитическое задание функции

.

Определение 25.2.

Областью определения функции z = f(x,y) называется множество {x,y}, для которых формула имеет смысл.

Пример 25.1.

Функция  определена при .

25.2.3. Графическое задание функции.

Определение 25.3.

Пусть задана функция  Графиком называется множество точек в пространстве , где -абсцисса, - ордината, а  - аппликата, т.е. графиком является поверхность.

Ранее изучали, что  - верхняя часть сферы,

 - параболоид,  - плоскость.

Замечание 1. Любая поверхность в пространстве  является графиком функции, если прямая, параллельная , пересекает ее в одной точке.

25.3. Предел функции двух переменных

Определение 25.4.

Множество точек , удовлетворяющих неравенству

называется -окрестностью точки .

Геометрический смысл

-окрестность точки  - круг с центром в точке   радиуса .

Определение 25.5.

Функция  имеет предел в точке  равный , т.е.

,

если она определена в некоторой окрестности точки , и для любого сколь угодно малого  найдется такое , что для всех точек , удовлетворяющих неравенству  выполняется неравенство

.

Замечание 2. Все правила нахождения пределов, сформулированные для функции одной переменной остаются в силе и для функции двух переменных.

Пример 25.2.

1) ,

2) .

Пусть

Определение 25.6.

Функция  называется бесконечно малой в точке

(или при ), если .

Если , то , где ,

т.е. функция  в окрестности точки  отличается от числа   на бесконечно малую функцию.

Замечание 3.

Сравнение бесконечно малых функций двух переменных производится также, как и бесконечно малых функций одной переменной, причем под символом   будем понимать любую бесконечно малую в точке  функцию более высокого порядка малости, чем бесконечно малая в точке  функция , т.е. .


Частные производные и дифференциалы высших порядков