Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Непрерывность функции двух переменных

Определение 25.7.

Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.

 или .

Пример 25.3.

1)  непрерывна в любой точке.

2)

Предел не существует при , т.е. (0,0) – точка разрыва.

25.5. Основные свойства непрерывных функций двух переменных

Определение 25.8.

Множество  точек плоскости называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить линией.

Определение 25.9.

Точка  называется внутренней точкой множества , если существует , состоящая из точек данного множества.

Определение 25.10.

Связное, открытое множество  (состоящее лишь из внутренних точек) называется открытой областью или просто область

(например, внутренность круга).

Определение 25.11.

Точка  называется граничной точкой области, если в любой  существуют точки, как ей принадлежащие, так и не принадлежащие. Множество всех граничных точек этой области называется границей области. Обозначение: .

Определение 25.12.

Множество точек, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью.

Определение 25.13.

Множество называется ограниченным, если существует круг, внутри которого оно содержится.

Замечание 4. Замкнутая ограниченная область, в которой определена функция двух переменных, является аналогом отрезка для функции одной переменной.

1) Если функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области, то .

2) Если функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.

3) Непрерывная в области функция  принимает все свои промежуточные значения, т.е. если

 и , то  .


Частные производные и дифференциалы высших порядков