Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 28

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Определение 28.1.

Частные производные по переменным  и в точке  от функций  и в точке М, если они существуют, называются

  частными производными второго порядка от функции .

Обозначение.  

 – смешанные частные производные.

Пример 28.1.

Найти частные производные функции .

Решение.

.

Теорема 28.1.

Если функции  и  существуют в  и непрерывны в самой точке М, то они равны между собой:

 (28.1).

Определение 28.2.

 – дифференциал первого порядка

 – дифференциал второго порядка.

Тогда

 – дифференциал n-го порядка

28.2. Экстремумы функции двух переменных

Пусть функция  определена в окрестности точки

Определение 28.3.

Функция  имеет в точки  локальный максимум (минимум), если существует :  из окрестности выполняется неравенство:

 ()

Таким образом, в окрестности точки :

  локальный минимум,

  локальный максимум.

Теорема 28.2 (необходимое условие экстремума).

Если функция  имеет в точке  экстремум и частные производные первого порядка, то выполняется равенство:

 (28.2).

Точки, в которых выполняется равенство (28.2) называются точками возможного экстремума, или стационарными точками.

Теорема 28.3 (достаточное условие экстремума).

Пусть в точке  возможного экстремума и некоторой ее окрестности функция  имеет непрерывные частные производные второго порядка.

Положим

Тогда: а) если , то в точке  экстремум: ;

б) если , нет экстремума;

в) если , требуется дополнительное исследование.

Пример 28.2.

Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

, ,  - (минимум)

Найдем точки минимума.

По теореме 28.2. , т.е.  , x=1/3, y=4/3

Итак, в точке  функция имеет минимум.

28.3. Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Чтобы вычислить наибольшее и наименьшее значение функции  в замкнутой области, поступают следующим образом:

находят все максимальные и минимальные значения функции, достигаемые в данной области;

находят наибольшие и наименьшие значения функции на границе области.

сравнивают найденные значения.

Пример 28.3.

Найти наибольшее значение функции  в замкнутой области, ограниченной линиями: , , .

Решение.

1) ,  (min) .

2) => y=1/3.

z(0)= 2, z(1/3)=1/3-2/3+2=4/3; z(1)=3.

при x=0, z=3(наибольшее).

3) ,  аналогично при y=0, z=3 (наибольшее);

4) x+y=1;    12y-6=0 y=1/2

z(0)=3, z(1)=3, z(1/2)=3/2

Итак, наибольшее значение: 3 при y=0 или y=1.


Частные производные и дифференциалы высших порядков