Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Ряды Фурье для функции с периодом  и 

Рядом Фурье периодической функции  с периодом , определенной на сегменте , называется ряд

 , (1)

где

  (2)

 

  (3)

Если ряд (1) сходится, то его сумма  есть периодическая функция с периодом , т.е. .

Теорема Дирихле. Пусть функция  на сегменте  имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента  и сумма этого ряда   вычисляется:

1)  во всех точках неразрывности , лежащих внутри сегмента ;

2) , где - точка разрыва 1-го рода функции ;

3)   на концах промежутка, т.е. при .

В случае, когда  - четная функция, ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

  (4)

где

  (5)

В случае, когда  - нечетная функция, ее ряд содержит только синусы, т.е.

   (6)

где 

  (7)

Часто приходится разлагать в тригонометрический ряд функции периода, отличного от . В этом случае, если  - периодическая функция с периодом , для которой выполняются на сегменте  условия Дирихле, то указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье:

  (8) где

  (9)

  (10)

В случае, когда  - четная функция, как (4) – (5), ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

  (11) где

 . (12)

В случае, когда - нечетная функция, ее ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

  (13) где

  (14)

При разложении в ряд Фурье целесообразно придерживаться следующей схемы. Вначале проверяем, что данная функция удовлетворяет условиям Дирихле; затем вычисляем коэффициенты  и  по соответствующим формулам; подставляя их в ряд, получаем искомое разложение; наконец, основываясь на теореме Дирихле, определяем, при каких   полученный ряд сходится к данной функции. Рассмотрим примеры разложения в ряд Фурье периодических функций.


Частные производные и дифференциалы высших порядков