Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Представить интегралом Фурье заданную на всей оси функцию

 

 2

 -2 2 t

 Рис. 13

График функции представлен на рис. 13.

Решение. Условия представимости данной функции интегралом Фурье выполняются. Эта функция – четная, поэтому воспользуемся формулой (21):

.

В частности, полагая , найдем .

3. Представить интегралом Фурье функцию 

 
 

 

  - целое число.

 Рис. 14

График функции представлен на рис. 14.

Решение. Функция  непрерывна на всей числовой оси и абсолютно интегрируема, поскольку

.

Следовательно, возможно представление этой функции интегралом Фурье. Согласно формуле (18)

.

  Используя равенство

,

интегрируя и производя несложные преобразования, получим

.

  4. Представить интегралом Фурье функцию, продолжив ее на всю числовую ось: а) четным, б) нечетным образом. 


 

 

 

 0 p/2  t 

 Рис. 15

 График функции представлен на рис. 15.

 Решение. Функции, получаемые продолжением  на  четным и нечетным образом, удовлетворяют условиям теоремы. Для четного продолжения воспользуемся формулой (21)

.

Вычислим отдельно внутренний интеграл:

.

Следовательно, при четном продолжении

.

Если  продолжена нечетным образом, то следует применить формулу (22). Получим

.

Производя аналогичные вычисления, придем к следующему представлению функции :

.

Таким образом, для

.


Тройной интеграл Задача о вычислении массы тела