Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 4

ТЕМА: Система линейных уравнений (СЛУ)

Определение 4.1

Системой линейных уравнений (СЛУ) называют систему уравнений первого порядка:

 (4.1),

где .

Матрица коэффициентов при неизвестных

называется основной матрицей системы.

Матрица

называется расширенной матрицей системы.

Определение 4.2

1). Множество всех значений , подстановка которых в систему уравнений (4.1) каждое уравнение обращает в тождество, называется решением данной системы.

2). Если все свободные члены системы равны нулю, то есть , то система называется однородной.

Определение 4.3

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение называется совместной, если решение только одно, то система называется определенной, если решений множество, то система называется неопределенной. Если решений нет, то система несовместная.

Определение 4.4

Две системы называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй и наоборот.

Над системами можно производить следующие линейные преобразования:

менять уравнения местами

умножать обе части уравнения на любое не равное нулю число

прибавлять к обеим частям одного из уравнений системы соответствующие части другого уравнения, умноженное на любое действительное число.

Система n линейных уравнений с n неизвестными

 (4.2)

1). Матричный способ решения системы (4.2)

Назовем  (4.3)

матричным уравнением системы (4.2)

или  (4.4),

где

Каждую часть равенства (4.4) умножим слева на обратную матрицу :

 (4.5)- решение системы (4.2).

Запишем (5) в развернутом виде:

Таким образом, из , из определения равенства матриц (2.1) следует:

 (4.6)

Пример 4.1

Решить систему матричным способом:

 

Далее вычисляются алгебраические дополнения и составляется матрица .

.

, тогда

.

2). Решение системы (4.2) по формулам Крамера

Определение 4.5

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы (4.2):

.

 - побочные определители системы (4.2), которые составляются следующим образом: при составлении  в определителе  -й столбец заменяется на свободные члены, например:

.

Возвращаясь к формулам (4.6), нетрудно заметить, что суммы, стоящие в числителях есть ни что иное, как побочные определители, разложенные по столбцу свободных членов и тогда формулы (4.6) примут вид:

 (4.7) - формулы Крамера.

Пример 4.1.1

Решим систему линейных уравнений из примера 4.1 с помощью формул Крамера:

,

Теорема Кронекера-Капелли 4.1

Система линейных уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда   (4.8).

Следствия

1). Система линейных уравнений (4.1) имеет единственное решение, если , где -число неизвестных в системе.

2). Если , то система линейных уравнений (4.1) имеет бесконечное множество решений (т.е. система неопределенная).

Пример4.2

Как видно, , поскольку ранги не равны, то по теореме 6 данная СЛУ решений не имеет (несовместна).


Частные производные и дифференциалы высших порядков