Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела.

Имеем объем  V заполненный массой с переменной плотностью r(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Операция разбиения. Разделим V на n элементарных объемов DV1, DV3,V3, . . . , DVn и в пределах каждого из них выделим точку Mi().

2. Масса элементарного объема приближенно равна  r() DVi .

3. Приближенное значение массы всего тела определяет интегральная сумма

m(n) = r() DVi ( 15)

4. В пределе, когда n ® ¥  и все DVi ® 0 , получаем точное решение задачи

m = lim r() DVi º

Опр. Тройным интегралом от функции трех переменных  f(x,y,z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области.

J =   = ( 16 )

Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности.

Основные свойства интеграла.

10.  Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y,z) dx dy dz = аf(x,y,z) dx dy dz

т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

20. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

  [f(x,y,z) + g(x,y,z)]dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz +g(x,y,z) dx dy dz

т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

30 . Аддитивность области интегрирования. Если V = V1 + V2 , то

f(x,y,z) dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz +  f(x,y,z) dx dy dz

40. Интеграл от функции f(x,y,z) = 1 численно равен объему области интегрирования V

V = dx dy dz

50 . Теорема о среднем. f(x,y,z) dx dy dz = f() V

Тройной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение объема, области интегрирования V , на значение функции f() в некоторой точке, т.к. любому телу с переменной плотностью всегда можно сопоставить тело с постоянной плотность f() = m/V  при таком же объеме V и массе m . Точка с координатами () всегда существует в области V.

Вычисление интегралов.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

Прямоугольные координаты - x, y, z .

1. V - прямоугольный параллепипед ( a  x  b , c  y  d , p  z q ) , тогда

f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz ( 17 )

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы. Возможен любой порядок интегрирования по х, у , z .

V - цилиндрический брус, который ограничен двумя гладкими поверхностями z = z1(x,y) , z = z2(x,y) и его проекция на плоскость хОу образует правильную область D, например, a  x  b , y1(x)  y  y2(x) , тогда

f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz = 

= dxdyf(x,y,z) dz ( 18 )

r = |ON| r = |OM|

j = (ON^Ox) j = (ON^Ox)

q = (OM^Oz)

Цилиндрические координаты - r, j, z .

Переход к ним : x = r cos j , y = r sin j , z = z  , удобен, когда область D образует круг или криволинейный сектор: r = r1(j ) , r = r2(j ) ,  . Тогда

f(x,y,z) dv =rdrdjf*(r,j,z) dz =  f*(r,j,z) dz ( 19 )

Здесь f*(r,j,z) = f(r cosj, r sinj, z) , z1* = z1(r cosj, r sinj) , z2* = z2(r cosj, r sinj) .

Сферические координаты - r, j, q .

Переход к ним : x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q , удобен, когда V образует шар или его телесный угол. В случае шара x2 + y2 + z2 £ R2 пределы интегрирования: 0 £ j £ 2p , 0 £ q £ p , 0 £ r £ R.

f(x,y,z) dv = f(r cosj sinq, r sinj sinq, r cosq) r2 sinq dr dj dq ( 20 )

Пр.5 Вычислить J = z dv , где V: 0 £ x £ ½ , x £ y £ 2x , 0 £ z £ .

J = dxdyz dz , J1 = z dz = ½ (1 – x2 – y2),

J2 = ½(1 – x2 – y2)dy = ½ [(1-x2)y – y3] |x2x =

=  ½(x- x3), J = ½( x - x3)dx = 7/192 

 Пр. 6 Вычислить J = x2 dx dy dz , где V - шар x2 + y2 + z2 £ R2 .

J = { x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q } = r4sin3q cos2q drdjdq =

=   sin3q dq cos2j dj r4 dr

J1 = r4 dr = R5/5 ; J2 = cos2j dj = ½ (1 + cos2j) dj  = p ;

J3 =   sin3q dq  = - (1 – cos2q) d(cosq) = 4/3 ; J =

Пр. 7 Вычислить J = zdx dy dz , где V ограничен цилиндром x2 + y2 = 2x и

плоскостями  y = 0, z = 0, z = a .

Область D : x2 + y2 = 2x Þ  (x – 1)2 + y2 = 1 - окружность с центром в (1; 0) и R = 1. J = { x = r cos j, y = r sin j, z = z }. Строим полярное уравнение x2 + y2 = 2x Þ r = 2 cos j .

Вычисляем пределы интегрирования из условий r = 2cos j = 0 , y = 0 Þ 

J = ; J1 = z dz = ½ a2 ; J2 = r2 dr = 8/3 cos3j ;

J3 = cos3j dj = (1 – sin2j) d(sinj)  = [ sinj - 1/3 sin3j ] 0p/2 = 2/3


Тройной интеграл Задача о вычислении массы тела