Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Пример. Изменить порядок интегрирования J = 

Решение.

D: 1   x 2 , x y 2x 

D:  x = 1, x = 2, y = x, y = 2x

Точки пересечения: (1;1), (1;2), (2;2), (2;4)

Движение вдоль коридора || Oy (1x 2) идет от прямой

y = x до прямой у = 2х . Движение вдоль коридора || Ox

начинается либо на прямой х = 1, либо на прямой y = 2x

и завершается соответственно на прямых y = x, x = 2. 

Поэтому D приходится разделять на два коридора || Oх : 

 D = D1 + D2

D1 : 1 y 2  , 1  x y

D2 : 2 y 4 , y/2  x 2

 Ответ. J =  + 

Задачи для самостоятельного решения

Задание 1. Изменить порядок интегрирования 

1)   , 2)  , 3)  ,

 4) ,  5)  , 6)  ,

7)   , 8)  , 9)  ,

10) ,  11) , 12) ,

13)   , 14) , 15)

Пример 3. Вычислить интеграл  J =  , где D: y = x , y = 2x , x = 2 .

Решение.

Вычислим точки пересечения линий 2. Построение рис. области D.

(2;2), (2;4), (0;0) 

Выберем коридор || Оу , его ширина 0  x 2 ,

а движение по коридору от y = x до y = 2x. 

D: 0  x 2,  x y 2x . 5. J =

Вычислим внутренний интеграл: J1 = x= x siny |x2x = x(sin 2x – sin x)

J = . Проводим интегрирование по частям и получаем

 J = cos 2 – cos 4 +1/4 sin4 – sin 2

Пример 4. Вычислить интеграл J =  , где : y = 2 – x2 , y = -1 .

Решение.

Вычислим точки пересечения линий 2. Построение рис. области D.

 x2 = 3 (-;-1) , (;-1)

3. Выберем коридор || Оу, его ширина -x ,

а движение по коридору от y = -1 до y = 2 – x2. 

4. D: -x , -1 y 2 – x2 , 5. J =

6. Вычислим внутренний интеграл: J1 == (½ x2y2 + xy )

= ½ [x6 -4x4 -2x3 –4x2 +2x +4]. 7. J = ½  =

= ½ [ x7/7 - 4x5/5 – 2x4/4 – 4x3/3 + 2x2/2 + 4x ]  =

 Задачи для самостоятельного решения

Задание 2. Вычислить интегралы :

1)   , где : y = x2 + 1 , x = 1 , x = 0 , y = 0 .

2)  , где  : y = x2 , y = - , x = 1 .

3)   , где : y = x3, y = 3, x = 0.

4)  , где :  y = x , y = 2x , x = 2 .

5)   , где : y = x2 – 2 , y = 2 .

6)  , где :  y = x2 , y = 2 – x2 , x ³ 0 .

7)  , где :  y = p/4, y = p/2, x = 1, x = 2 .


Тройной интеграл Задача о вычислении массы тела