Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Практикум по теме «Тройной интеграл»

 Задача о вычислении массы тела.

Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Опр.  Тройным интегралом от функции трех переменных f(x,y,z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области DVi с постоянной плотностью f ()

m = lim f () DVi º = ( 1 ) 

Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности. Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования и зависит также от выбранной системы координат.

Прямоугольные координаты  - x, y, z .

1. V - прямоугольный параллепипед ( a  x  b , c  y  d , p  z q ) , тогда

J = f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz (2)

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы. Возможен любой порядок интегрирования по х, у , z .

2. V - цилиндрический брус, который ограничен двумя гладкими поверхностями z = z1(x,y) , z = z2(x,y) и его проекция на плоскость хОу  образует правильную область D, например, a  x  b , y1(x)  y  y2(x) , тогда

J =f(x,y,z)dx dy dz =dxdyf(x,y,z) dz = 

 = dxdyf(x,y,z) dz ( 3 )

При f(x,y,z) = 1 интеграл определяет объем бруса.

Пример 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями :

z = 0, z = x2 + y2, y = x, y + x = 2, y = 0

Решение.

z = 0 (степень 1, нет y, z )  плоскость координатная xOy (низ)

z = x2 + y2 (степени 1, 2)  параболоид вращения (верх)

y = x (степень 1, нет z)  плоскость через Oz (стенка)

y + x = 2 (степень 1, нет z)  плоскость || Oz (стенка)

 y = 0 (степень 1, нет  x, z )  плоскость координатная xOz (стенка)

V = dx dy dz = dxdydz , J1 = dz = x2 + y2 

 D: y = x , y + x = 2 , y = 0 

 Точки пересечения линий

(1;1),(2;0),(0;0)

 Построение рис. области D.

Выберем коридор || Оx, его ширина 0 y 1,

а движение по коридору от y = x до y + x = 2. D: 0 y 1, y x 2 – y

V = ,  J2 = = [y2x + x3/3] |y2 – y =

= 1/3 [ -7y3 + 12y2 – 12y + 8 ], V = 1/3[-7y3 + 12y2 – 12y + 8] dy =

= 1/3 [-7y4/4 + 12y3/3 – 12y2/2 + 8y] |01 = 17/12 куб. ед.

Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями :

 z = 10x, z = 0, x2 + y2 = 4, y =, y = 0

Решение.

z = 0(степени1,нет y,x)плоскость координатная xOy (низ)

z = 10x (степени 1, нет у ) плоскость через Оу (верх)

x2 + y2 = 4 (степени 2, нет z ) круговой цилиндр || Oz (стенка)

y =  или у2 = 3х (степени 1, 2, нет z)параболический цилиндр || Oz (стенка)

у = 0 (степени 1, нет х,z)плоскость координатная zOх(стенка)

V = dx dy dz = dxdydz , J1 = dz = 10x ,

D:  x2 + y2 = 4 , у2 = 3х , у = 0 

 Точки пересечения линий

(2;0),(0;0),(1;)

 Построение рис. области D.

Выберем коридор  || Оx, его ширина 0 y ,

а движение по коридору от у2 = 3х до x2 + y2 = 4,

 D: 0 y , y2/3 x

V =  , J2 =  = 5 [ 4 – y2 – y4 /9 ],

V = 5[ 4 – y2 – y4 /9 ] dy = 5 [ 4y – y3/3 – y5/45 ] =  куб.ед.

Задачи для самостоятельного решения

Найти объем тела, ограниченного поверхностями :

1) x + y + z = 8 , y = x , z = 0 , y = 3 ; 2) y = 6, y =  , z = 0 , x + z = 3.

3) y = 6, y =  , z = 0 , x + z = 3 ; 4) x2 + y2 = 8, x = , x = 0, z = 30y/11, z = 0.

5) x + y = 4, x = , z = 3x/5, z = 0 ; 6) x + y = 6, y = , z = 4y, z = 0.


Тройной интеграл Задача о вычислении массы тела