Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Вычисление интегралов

Кривая L задана параметрически : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 . 

Тогда, dx = `dt , dy = `dt , dz = `dt и для плоской кривой имеем

Pdx + Qdy = [P((t),(t),(t))(t)` + Q((t),(t),(t))`(t)]dt ( 5 )

2) Кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] . Тогда dy = y`(x)dx и

P(x,y)dx + Q(x,y)dy =[P(x, y(x)) + Q(x,y(x)) y`(x)] dx ( 6 ) 

Замена переменной у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.

Пример 2. Вычислить, где L: y = x2 +1 от точки А(0, 1) до точки В(1, 2)

Решение.  y = x2 + 1 , dy = 2x dx , 0 x 1  

J = = =  = [2x4/4 + 4x2/2] = 2,5

Пример 3. Вычислить J = , где L : x = t2 , y = t , 1 £ t £  2 .

Решение. x = t2 , dx = 2t dt , y = t , dy = 1 dt , 1 £ t £ 2 

J =  = [ t2 t 2t + t2 1 ] dt = [ 2t5/5  + t3/3 ]  = 14

Задачи для самостоятельного решения

1) Вычислить  , где L : y = x2 + 1 от точки А(0, 1) до точки В(1, 2) .

2) Вычислить  , где L : y = x2 от точки А(1, 1) до точки В(2, 4) .

3)  Вычислить , где L: y = x от точки А(2, 2) до точки В(3, 3)

4) Вычислить  по любому пути от точки А(2, 3) до В(5, 5) .

5)  Вычислить  , где L : x = 2 cos t , y = 2 sin t , t Î [0, p/2] .

6) Вычислить  , где L : x = t2 + 1 , y = t – 4 , 1 £ t £ 2 .

7) Вычислить  , где L : прямая от А(1,1) до В(3,4) .

Формула Грина

P(x,y)dx + Q(x,y)dy  =  ( 7 )

позволяет криволинейный интеграл 2 рода по контуру L свести к двойному интегралу по области D , ограниченной контуром L. Во многих случаях такая замена может существенно упростить решение задачи.

Пример 4. Вычислить J = -x2y dx + xy2 dy , где L : x2 + y2 = R2 .

Решение.  P = - x2y , P/y = - x2 ,

 Q = xy2 , Q/x = y2 , Q/x - P/y = y2 + x2

J = (y2 + x2) dxdy = {x = r cos  , y = r sin } =  = 2R4/4

Пример 5. Вычислить J =  , где L: y = x2 , y = 3 .

Решение. P = xey , P/y = xey

 Q = 2x2 y , Q/x = 4xy , Q/x - P/y = x( 4y – ey )

D: y = x2 , y = 3 ;   (-; 3) , (; 3)

 Выберем коридор || Оу, его ширина -x ,

а движение по коридору от y = x2 до y = 3 .

D:  -x , x2 y3

J = x( 4y – ey ) dxdy = , J1 = =

= x(2y2 – ey)= 18x – xe3 – 2x5 + x , J = [18x – xe3 – 2x5 + x] dx =

=   = sh

Задачи для самостоятельного решения

 По формуле Грина вычислить следующие интегралы :

1) J =  , где L: y = 6 – x2 , y = 3 .

2) J =  , где L: y = x2 , y = 2 , x = 0.

3) J = , где L: x2 + y2 = x.

4) J = , где L: xy = 1, x = 0, y = 1, y = 2.

5) J =  , где L: x2 + y2 = 4 .

Условия независимости

от пути интегрирования криволинейных интегралов 2 рода вдоль кривой L от т.А до т.В :

1) если его значение по произвольному замкнутому контуру равно 0

Pdx + Qdy + Rdz = 0 (8) 

2) если его подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции трех переменных U(x,y,z)

Pdx + Qdy + Rdz = dU ( 9 )

3) если выполняются следующие равенства для частных производных от подынтегральных функций

  =  ,  =  ,  =  ( 10 )

В случае выполнения этих условий вычисляют первообразную функцию U(x,y,z) по полному дифференциалу. Для этого проводят интегрирование dU от А(x0,y0,z0) до В(x,y,z) по контуру, состоящему из прямых || координатным осям и получают сумму трех простейших определенных интегралов.

Интегрирование  dU(х,у) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy 

от А(x0,y0) до В(x,y) по такому контуру дает

U(x,y) =  +  + С ( 11 )

Пример 6. Вычислить J =

Решение. Т.к.  = = 2у , то интеграл не зависит от пути.

Вычислим интеграл вдоль ломаной ОАВ, где А(1,0), В(1,2)

ОА: y = 0, dy = 0, 0x JOA =  = - 1

AB: x = 1, dx = 0, 0y JAB = = 10 ; J = JOA + JAB = 9

 

Пример 7. Найти U(x,y), если dU = x sin 2y dx + x2cos 2y dy

Решение. Проверка на полный дифференциал  = = 2x cos2y . В формуле (11) положим А(0,0). Тогда U(x,y) =  +  + С = ½ x2sin2y + C

Проверка : = x2cos 2y ,  = x sin 2y .


Тройной интеграл Задача о вычислении массы тела