Линейная и векторная алгебра Примеры решения задач контрольной работы

Лекция 7

ТЕМА: Однородная система линейных уравнений (СЛОУ)

Согласно определению 4.2 запишем однородную систему линейных уравнений.

 (7.1).

Однородная система всегда совместна, так как всегда имеется тривиальное решение.

Согласно общей теории, если , то единственным является тривиальное решение.

Если же , то решений бесконечно много, и все они, кроме одного, нетривиальные.

Теорема 7.1 (о нетривиальных решениях однородной системы)

Однородная линейная система с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Доказательство

По теореме Крамера (5.1)  тогда и только тогда, когда система с квадратной матрицей имеет единственное решение (т.е. векторы – столбцы системы (7.1) – линейно зависимы). В случае если задана система линейных однородных уравнений, это решение – тривиальное  (0,0,…0). Значит, нетривиальные решения имеются тогда и только тогда, когда  (т.е. решений системы бесконечное множество).

Любое решение СЛОУ выражается в виде линейной комбинации

 векторов (если ):

, …, . (7.2)

Покажем, что вектора  – линейно независимы. Для этого составим матрицу  из их координат:

.

Ниже черты расположен минор порядка , отличный от нуля     столбцов матрицы  линейно независимы.

Следовательно, вектора  – линейно независимы, т.е. эти вектора образуют базис подпространства.

Определение 7.1

Всякая линейно независимая система  решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений.

Замечание 1. Отличный от нуля минор матрицы порядка , такой, что всякие миноры порядка  и выше, (если такие имеются) равны нулю, называется базисом.

Итак, общее решение СЛОУ:

 (7.3),

где  - фундаментальная система решений,

 - произвольные постоянные.

Пример 7.1

;

 ~ .

, , .

Системы линейных неоднородных уравнений (СЛНУ)

Рассмотрим систему неоднородных уравнений

 (7.4)

Пусть .

Пусть  – решение этой системы, т.е.  (7.5)

Вычитая из (7.4) выражение (7.5), получим:

.

 является решением соответствующего однородного уравнения.

Согласно (7.3) .

В нашем случае  или  (7.4).

Таким образом:

Теорема 7.2

Общее решение представляется в виде суммы произвольного частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы.

Следствие 1

Разность двух произвольных решений систем линейных неоднородных уравнений является решением соответствующей системы линейных однородных уравнений .

Следствие 2

Сумма любого частного решения системы линейных неоднородных уравнений с любым частным решением соответствующей системы линейных однородных уравнений дает частное решение системы линейных неоднородных уравнений .

Замечание 2. В формуле (5.5)  - частное решение системы.

Пример 7.2

,


Частные производные и дифференциалы высших порядков