Контрольная работа Указания к выполнению задания по эскизам деталей Сборочный чертеж Виды разъемных соединений Выполнение технического рисунка и аксонометрии детали

Типовые задачи по начертательной геометрии и методы их решений. Контрольная

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Общие положения

 Метрическими называются задачи, решение которых связано с определением характеристик геометрических фигур, определяемых (измеряемых) линейными и угловыми величинами.

 Три основные группы задач:

Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами:

- расстояние между двумя точками;

- расстояние от точки до прямой общего положения;

- расстояние между параллельными прямыми;

- расстояние между параллельными плоскостями;

- расстояние между скрещивающимися прямыми (кратчайшее);

- расстояние от точки до плоскости;

- расстояние от точки до поверхности.

 2. Задачи на определение углов между плоскими геометрическими фигурами:

 - угол между пересекающимися и скрещивающимися прямыми;

 - угол между прямой и плоскостью;

 - угол между двумя плоскостями.

Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур Построение плоской фигуры, обладающей определенными метрическими свойствами, требует изображения на чертеже ее натурального вида.

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ При построении чертежа предмета, его обычно располагают так, чтобы направление трех главных измерений были параллельны плоскостям проекций

Контрольная работа № 1 Шрифты, линии чертежа, нанесение размеров, обозначение графических материалов

Построение по двум изображениям детали третьего

Крепежные детали и соединения Изучение способов изображения крепежных соединений и изделий — болтов, гаек, шайб и шпилек — по действительным и условным размерам.

3. Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур:

  - действительная величина плоской фигуры.

4. Задачи на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам.

8.2. Теоретические основы для решения метрических задач

 Используется инвариантное свойство ортогонального проецирования:

любая геометрическая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на нее в конгруэнтную ей фигуру.

Для решения задач используют:

 - способы преобразования комплексного чертежа;

 - положения по теме «Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости».


Общая схема решения задач:

  - одним из способов преобразования комплексного чертежа привести обе геометрические фигуры или одну из них в частное положение ( ^ или çç одной из плоскостей проекций: П1 – П3);

 - или построить проекцию искомой фигуры на одну из выбранных плоскостей;

 - или решить в плоскости частного положения заданную метрическую задачу, перенеся затем решение задачи на исходные проекции обратным преобразованием;

  - при выборе способа преобразования комплексного чертежа следует ориентироваться на простоту графических операций.

8.3. Задачи на определение расстояний между
геометрическими фигурами

 Расстояние между двумя точками равно длине отрезка прямой линии, соединяющей эти точки. Эта задача решается или способом прямоугольного треугольника или построением дополнительного изображения отрезка на новой плоскости проекций, параллельной этому отрезку.

 Расстояние от точки до прямой линии равно длине перпендикуляра,. опущенного из точки на эту прямую. Чтобы опустить перпендикуляр из точки на прямую, в общем случае через эту точку проводят плоскость, перпендикулярную к этой прямой или отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Для этого нужно преобразовать чертеж данной прямой. Сделав ее в новой системе плоскостей проецирующей.

 Рассмотрим пример: Задача 1. определить расстояние от точки М до отрезка прямой АВ, (рис. 84).

 Схема решения:

1. Расстояние от точки М до отрезка АВ изображается длиной перпендикуляра МК, проведенного из точки М.

2. На плоскости П5 отрезок МК(М5К5) спроецируется в натуральную величину, т.к. он является горизонталью в системе плоскостей П4/ П5.

Алгоритм:

Рис. 84 - Комплексный 1. Преобразуем отрезок АВ в горизонтально
чертеж проецирующий, заменой плоскостей проекций.

 2. Построим проекцию А5В5 отрезка АВ на плоскость П5 ^ АВ, а отрезок М5К5 – искомое расстояние.


Построение:

1. Проводим ось проекций Х12.

2. Новая ось проекций Х14 çç А1В1.

3. Строим проекцию прямой АВ(А4В4) и точки М(М4) на П4.

4. Новая ось проекций Х45 ^ (А4В4).

5. Строим проекции АВ(А5В5) и точки М(М5) на П5.

6. М5К5 = ïМКç- искомое расстояние.

7. Строим М4К4 ^ (А4В4) , т.к. М4К4 – фронтальная проекция горизонтали.

8. Строим проекцию отрезка MК(М1К1) на П1 по принадлежности К ÎАВ.

9. Строим проекцию отрезка MК(М2К2) на П2 по принадлежности К ÎАВ.

  Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую.

 Таким образом, задача сводится к определению расстояния между точкой и прямой линией или может быть решена способом замены плоскостей проекций, преобразовав эти прямые в проецирующие.

 На рис. 85 определено расстояние между параллельными прямыми а и b путем преобразования чертежа прямых в проецирующие способом замены плоскостей проекций.

Задача 2. Определить расстояние между параллельными прямыми а и b.

Схема решения:

1. Расстояние меду прямыми a и b определяется отрезком перпендикуляра между ними М5К5 на плоскости П5.

2. На плоскости П5 отрезок МК(М5К5) проецируется в натуральную величину, т.к. он является горизонталью в системе плоскостей П4/П5.

Рис. 85 - Комплексный 

 чертеж 

Алгоритм:

1. Преобразуем прямые а и b в проецирующие в системе плоскостей П4/ П5.

2. Отрезок М5К5 = ïМКç- искомое расстояние.

Построение:

1. Проводим ось проекций Х12.

2. Новая ось проекций Х14 çç а1 и b1.

3. Строим проекции прямых а4 и b4 на П4.

4. Новая ось проекций Х45 ^ а4 и b4.

5. Строим проекции а5 и b5 на П5.

6. М5К5 = ïМКç- искомое расстояние.

7. Строим М4К4 ^ (а4 и b4) , т.к. М4К4 – фронтальная проекция горизонтали.

8. Строим проекцию отрезка MК(М1К1) на П1; К Îb, M Î a.

9. Строим проекцию отрезка MК(М2К2) на П2; К Îb, M Î a.

 

 Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Рис. 86 - Комплексный чертеж

 Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости, т.е. преобразовать комплексный чертеж, например, способом замены плоскостей проекций, (рис. 86).

 Задача 3. Определить расстояние от точки М до плоскости треугольника АВС, (рис. 86).

Схема решения:

1. Расстояние от точки М до плоскости D АВС изображается длиной перпендикуляра МК, проведенного из точки М на плоскость.

2. . На плоскости П4 отрезок МК(М4К4) проецируется в натуральную величину, т.к. он является фронталью в системе плоскостей П4/П5.

Алгоритм:

Преобразуем плоскость D АВС в проецирующую в системе плоскостей П1/П4.

Отрезок М4К4 = ïМКç- искомое расстояние.

Построение:

1. Проводим ось проекций Х12.

2. Новая ось проекций Х14 ^ h1.

3. Строим проекции плоскости D АВС (D А4В4С4) и точки М(М4) на П4.

4. М4К4 ^ (D А4В4С4) = ïМКç- искомое расстояние.

5. Строим М1К1 çç Х14, т.к. М4К4 – фронтальная проекция фронтали.

6. Точку К2 строим с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости П4.

Расстояние между параллельными плоскостями измеряется длиной перпендикуляра. опущенного из любой точки одной плоскости на другую.

 Таким образом, задача сводится к определению расстояния от точки до плоскости и может быть решена теми же способами.

 Рассмотрим примеры:

 Задача 1. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.

Рис. 87 - Пространственная модель

Схема решения:

Расстояние между скрещивающимися прямыми a и b определяется длиной отрезка MN одновременно перпендикулярного к обоим прямым, (рис. 87).

На плоскость, перпендикулярную к одной из прямых, отрезок MN проецируется в истинную величину.

Алгоритм:

1. Преобразовать прямую a или b в проецирующую, например, способом замены плоскостей проекций.

2. Построить проекцию M5N5 отрезка MN на плоскость П5 ^ a. M5N5 – искомое расстояние.

Рис. 88 - Комплексный чертеж

 Построение, (рис. 88):

1. Проводим ось проекций Х12.

2. Новая ось проекций Х14 çç a1.

3. Строим проекцию прямой a на П4.

4. Строим проекцию прямой b на П4.

5. Новая ось проекций Х45 ^ a4.

6.  Строим проекцию прямой b на П5.

7. Строим проекцию прямой a на П5.

8. M5N5 = çMNç- искомый отрезок, т.к. в системе плоскостей П4/ П5 MN – линия уровня, поэтому M5N5 Ç b5 = 90°.

9. Строим проекцию отрезка MN на П4,

т.к. в системе плоскостей П4/ П5 MN – линия уровня, поэтому M4N4 çç Х45.

10. Строим проекцию отрезка MN на П1 .

11. Строим проекцию отрезка MN на П2

Задача 2. Определить расстояние от точки А до поверхности конуса Ф, (рис. 89).

Рис. 89 - Пространственная
модель

Схема решения:

1. Расстояние от точки А до поверхности вращения Ф, (независимо от ее вида), определяется длиной перпендикуляра АВ, опущенного из точки А на ближайшую к ней образующую (меридиан) поверхности d.

2. Образующая  d принадлежит плоскости Г, проходящей через данную точку А и ось вращения i поверхности Ф.

Алгоритм:

1. Через точку А и ось i проводим плоскость Г.

2. Находим образующую d (d = Г Ç Ф).

3. Преобразуем образ d в прямую уровня способом  замены плоскостей проекций.

4. В новой системе плоскостей из точки А опускаем перпендикуляр АВ на образ d.

Рис. 90 - Комплексный чертеж

 Построение, (рис. 90):

1. Плоскость Г(А, i); Г ^ П1 .

2. Образующая d(1 – S)= Г Ç Ф.

3. Проводим ось Х12.

4. Новая ось проекций Х14 çç Г1.

5. Строим проекцию образующей d на П4, в системе плоскостей П1/ П4 d(d4) – линия уровня (фронталь).

6. А4В4 ^  d4, в системе плоскостей П1/ П4, А4В4 = çАВ ç- искомый отрезок.

7. Строим проекцию отрезка АВ на П1 .

8. Строим проекцию отрезка АВ на П2.


8.4. Задачи на определение действительных величин углов
между геометрическими фигурами

 Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется без искажения на плоскости, параллельной плоскости угла.

 Угол между двумя скрещивающимися прямыми линиями измеряется углом между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

Рассмотрим примеры: Задача 1. Определить угол a между прямой d и плоскостью D (m ççn).

Рис. 91 - Пространственная модель

Угол наклона прямой d к плоскости D измеряется величиной линейного угла a между прямой d и ее прямоугольной проекцией d¢ на данную плоскость D, (рис. 91).

Схема решения:

1. Из произвольной точки А Î d опускаем перпендикуляр t на плоскость D.

2. Определяем точку N встречи перпендикуляра t с плоскостью D.

3. Определяем точку К пересечения прямой d с плоскостью D.

4. Строим прямоугольную проекцию d¢(КN) прямой d(АК) на плоскость D.

5. Угол AKN – искомый.

 Решение задачи значительно упрощается, если вместо угла a определять дополнительный до 90º угол b. В этом случае не требуется находить точку N и проекцию прямой d¢. Зная величину угла b, вычисляем угол a: a=90° - b.

 Рис. 92 - Комплексный чертеж

Построение, (рис. 92):

1. h Î D( m ççn), f Î D( m ççn).

2. Выбираем произвольную точку АÎd.

3. АÎt ^ D.

4. S = d Ç t.

5. Строим отрезок ВС = f¢¢ÎS.

6. ÐВАС = d ^t= b ÎS.

7. Определяем величину угла b способом вращения его вокруг f¢до положения çç П2.

8. ÐВ2А¢С2 = çb ç.

9. Искомый Ð a = 90° - b.

 Задача 2. Определить величину угла между плоскостями Г(аççb) и D(cÇd), (рис. 93).

Схема решения:

1. Угол между плоскостями Г и D измеряется одним из линейных углов, обычно острым, полученным при пересечении этих плоскостей третьей (S), перпендикулярной к ним.

2. В общем случае удобно определять угол b, заключенный между перпендикулярами опущенными из произвольной точки N на заданные плоскости Г и D.

3. Найденный угол b является искомым, если он 

Рис.93 - Пространственная острый; если угол b - тупой, то искомый угол

 модель a = 180º - b.

Агоритм:

Из точки N проводим прямые n ^ Г и m ^ D.

Определяем величину угла b, преобразовав плоскость S(m Ç n) способом вращения в плоскость уровня.

Рис. 94 - Комплексный чертеж

Построение, (рис. 94):

1. h Ù f Î Г(aççb/

2. h¢ Ù f¢ ÎD(c Ç d)/

3. Берем произвольную точку N.

4. N Î n ^ Г.

5. N Î m ^ D.

6. m Ç n = S.

7. Отрезок AB = f¢¢ÎS.

8. ÐANB = n ^ m = b Î S.

9. Способом вращения вокруг f¢¢ преобразуем плоскость S(DANB) в плоскость уровня S¢ççП2.

10. Треугольник A2N¢B2 = çANBçÞ Ð A2N¢B2 – искомый.

 

Задача 3. Определить величину двугранного угла между плоскостями Г и D, (рис. 95).

Схема решения:

Угол между плоскостями Г и D измеряется линейным углом, обычно острым, полученным при пересечении этих плоскостей третьей плоскостью (S), перпендикулярной к ним.

Т.к. линия пересечения плоскостей Г и D известна – ребро MN, то решение задачи упрощается – угол спроецируется в конгруэнтный ему на плоскость, перпендикулярную ребру MN.

Рис. 95 - Пространственная модель

Алгоритм:

Преобразуем ребро MN способом замены плоскостей проекций в прямую уровня M4N4.

Преобразуем ребро M4N4 способом замены плоскостей проекций в проецирующую прямую M5N5.

Построение, (рис. 96):

Проводим ось проекций Х12.

Проводим ось проекций Х14 ççM1N1 .

Строим проекцию ребра MN на П4, в системе плоскостей П1/ П4

MN(M4N4 ) – линия уровня.

Строим проекцию плоскости Г(Г4) на П4.

Строим проекцию плоскости D(D4) на П4.

Проводим ось проекций Х45  ^ M4N4 .

Строим проекцию ребра MN на П5, в системе плоскостей П4/ П5 MN(M5N5 ) – проецирующая прямая.

Строим проекцию плоскости Г(Г5) на П5.

Строим проекцию плоскости D(D5) на П5.

Плоскости Г и D ^ П5 Þ ÐA5M5B5 – искомый.

Рис. 96 - Комплексный чертеж


На главную