Курс сопротивления материалов. Примеры

Если в поперечных сечениях стержня действует нормальная сила N, а прочие си-ловые факторы равны нулю, то стержень испытывает РАСТЯЖЕНИЕ или СЖАТИЕ, в зависимости от направления нормальной силы

Балка на упругом основании

 Если балка лежит на упругом основании, то последнее оказывает на балку реактивное давление  (гипотеза Винклера), где k - коэффициент упругости основания (коэффициент постели). Добавляя в правую часть уравнения нагрузку , получим дифференциальное уравнение изогнутой оси балки на упругом основании:

  (6.27)

Введем обозначение:

 

Тогда уравнение (6.27) принимает вид:

   (6.28)

Его общим решением будет: 

   (6.29)

 34 

где - частное решение неоднородного уравнения (6.27).

  Так как:

 

то общее решение (6.27) можно записать в ином виде:

 

 Академик А. Н. Крылов ввел функции:

 

обладающие свойством:

 

 Они образуют систему частных решений уравнения (6.63) с единичной матрицей, представляемой в виде табл. 6.1.

 Общее решение уравнения (6.27) можно записать через функции Крылова в виде

 

где

 

 Таблица 6.1.

 

Рассмотрим балку полубесконечной протяженности (рис. 6.17).

 Рис. 6.17.

На краю балки при действуют сосредоточенные сила Р и момент m. Следовательно, на край балки при z = 0 имеем перерезывающую силу  и изгибающий момент . Если балка весьма длинная, то при больших z (теоретически) прогибы должны быть весьма малыми (теоретически). Поэтому, согласно (6.29), . Так как распределенная нагрузка q = 0, то частное решение .

Следовательно, общее решение рассматриваемой частной задачи имеет вид:

  (6.30)

 Вычислим производные:

Зная их, можно вычислить изгибающий момент и перерезывающую силу: 

 (6.31)

 Постоянные  определяем из граничных условий при :

 

откуда с учетом (6.30), (6.31) получаем:

 

 Для прогиба (6.30) получаем выражение:

   (6.32)

 Максимальный прогиб находим из (6.31) при z = 0:

  

 Пусть на краю балки при z = 0 момент а перерезывающая сила тогда:

   

  

 Как видно, прогиб v, момент Мх, сила Qy по мере удаления от края балки z = 0 периодически уменьшаются по экспоненциальному закону. Эта особенность быстрого затухания v, Mx, Qy по мере удаления от края балки называется краевым эффектом (см. рис. 6.17).

Устойчивость сжатых стержней (продольный изгиб)

Понятие об устойчивых и неустойчивых формах равновесия. Критические нагрузки. Устойчивость сжатых стержней в упругой стадии. Формула Эйлера для стержня с шарнирными опорами по концам (основной случай). Учет других видов закрепления. Понятие о гибкости и приведенной длине стержня. Формула Эйлера, записываемая через приведенную длину стержня. Предел применимости формулы Эйлера. Потеря устойчивости при напряжениях за пределом пропорциональности материала. Формула критической силы Энгессера - Ясинского. График критических напряжений в зависимости от гибкости стержня. Практический метод расчета сжатых стержней на продольный изгиб. Таблицы коэффициентов продольного изгиба . Понятие о расчете составных стержней.

ПРИНЦИП НЕЗАВИСИМОСТИ ДЕЙСТВИЯ СИЛ (ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ) Конструкции, для которых выполняется закон Гука, а перемещения пренебрежимо малы по сравнению с начальными размерами, называются линейно-деформируемыми
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений