Курс сопротивления материалов. Примеры

Если в поперечных сечениях стержня действует нормальная сила N, а прочие си-ловые факторы равны нулю, то стержень испытывает РАСТЯЖЕНИЕ или СЖАТИЕ, в зависимости от направления нормальной силы

Принцип возможного изменения сил и формула Кастилиано

 Рассмотрим упругую консольную балку под действием силы Р

(рис. 7.5).

 а) б)

 Рис. 7.5

 Рассмотрим упругую консольную балку под действием силы Р

(рис. 7.5). Концевое сечение балки совершит действительное перемещение  Опорные реакции будут:

1) К.А. Кастилиано (1847-1884)-итальянский механик и инженер.

 Предположим, что сила  получила возможное (воображаемое) приращение называемое вариацией силы Р. При этом все действительные перемещения балки, в т.ч. , остались неизменными, а реактивные силы изменились на величины . При этом за счёт воображаемого изменения силы  изменилась потенциальная энергия балки на величину

   (7.7)

Так как

  (7.8) 

 то, приравнивая (7.7) и (7.8), получаем формулу Кастилиано:

  

 Пусть теперь мы имеем упругое тело произвольной формы под действием произвольной системы внешних сил Pi  (рис. 7.5,б), которые на перемещениях  в их направлениях произведут действительную работу:

 

 Она полностью переходит в потенциальную энергию тела , создаваемую внутренними силами, зависящими от внешних сил Рi. Поэтому в данном случае мы можем считать, что потенциальная энергия тела зависит от внешних сил:

  

Предположим, что произошло возможное изменение внешних сил . Тогда изменится и внутренняя энергия тела:

  (7.9)

 При обратном приложении сил Рi их вариации  на действительных перемещениях   совершают элементарную дополнительную работу:

  (7.10)

Она перейдёт в возможное изменение внутренней потенциальной энергии (7.10), т.е.

  (7.11)

Заменяя в (7.11) его выражением (7.9), находим:

 

откуда в силу произвольности вариаций  получаем формулу Кастилиано:

  (7.12)

которая выражает собой теорему Кастилиано для линейных упругих систем: частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщённой силе Рi равна обобщённому перемещению в направлении действия силы.

 Если принять для потенциальной энергии выражение в виде квадратичной формы:

  

то, согласно (7.12), получим обобщённый закон Гука для перемещений и сил:

  (7.13)

или в развёрнутой форме:

   

где коэффициенты  носят название коэффициентов упругого влияния или податливости. Они не являются упругими постоянными материала данного тела, т.к. зависят от размеров тела.

 

 На основании (7.13) выражение потенциальной энергии может быть записано в виде (7.6). Покажем, что коэффициенты в (7.13) обладают симметрией, т.е.  По теореме Лагранжа (7.3)

  

Из условия независимости второй смешанной производной от функции потенциальной энергии  получаем  

 Приведём пример применения теоремы Кастилиано. Потенциальная энергия упругой однопролётной балки длиной  с шарнирным закреплением краёв и сосредоточенной поперечной силой посередине пролёта равна:

  

По формуле (7.12) находим:

  

 Формула (7.12) Кастилиано пригодна только для упругих линейных систем. Рассмотрим теперь нелинейное упругое тело. Пусть потенциальная энергия деформации выражена через перемещения  Образуем функцию

  

называемую дополнительной работой или потенциальной энергией сил. Проварьируем её:

 

Так как по теореме Лагранжа (7.3)  то получаем:

  (7.14)

 Предположим, что функция Ф выражена только через внешние силы:

  

тогда 

 

 47

Заменяя левую часть (7.14) полученным выражением, находим:

  

откуда в силу произвольности  получаем:

  (7.15)

Эта формула (7.15) выражает собой теорему Кастилиано для нелинейно упругого тела: частная производная от дополнительной работы по силе равна перемещению в направлении этой силы.

 Термин «дополнительная работа» легко понять из рис. 7.6, на котором заштрихованная область изображает работу внутренних сил, т.е. потенциальную энергию деформации.

  а) б)

 Рис. 7.6

Дополнительная работа Ф представляет собой площадь, дополняющую U до прямоугольника. Иногда её называют работой или энергией сил.

Основные уравнения теории упругости

Теория напряжений. Дифференциальные уравнения равновесия. Напряжение на наклонных площадках и условия на поверхности тела. Понятие о тензоре напряжений и его составляющих. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор напряжений. Главные площадки и главные напряжения. Инварианты тензора напряжений и девиатора напряжений. Интенсивность напряжений. Наибольшие касательные напряжения.
Теория деформаций. Вектор перемещений. Выражение компонентов деформации через перемещения (геометрические соотношения Коши). Уравнение неразрывности деформаций Сен-Венана. Тензор деформации и его составляющие. Главные деформации и главные оси деформации. Интенсивность деформаций.
Обобщенный закон Гука. Выражение деформаций через напряжения и напряжений через деформации в трехмерном изотропном теле. Закон Гука, связывающий объемную деформацию и среднее напряжение. Понятие о законе Гука для анизотропного тела.
Уравнение равновесия и перемещений (уравнение Ламе). Уравнения неразрывности деформаций в напряжениях (уравнение Бельтрами - Митчелла). Формулировка основной задачи теории упругости в напряжениях и перемещениях. Типы граничных условий на поверхности тела. Теория о единственности решения общей задачи теории упругости. Простейшие задачи теории упругости.

ПРИНЦИП НЕЗАВИСИМОСТИ ДЕЙСТВИЯ СИЛ (ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ) Конструкции, для которых выполняется закон Гука, а перемещения пренебрежимо малы по сравнению с начальными размерами, называются линейно-деформируемыми
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений