Курс сопротивления материалов. Примеры

Если в поперечных сечениях стержня действует нормальная сила N, а прочие си-ловые факторы равны нулю, то стержень испытывает РАСТЯЖЕНИЕ или СЖАТИЕ, в зависимости от направления нормальной силы

 Пример 3. Пусть требуется определить вертикальное и горизонтальное перемещение точки А в кривом стержне (рис. 7.12,а) постоянного радиуса кривизны

  Для определения перемещений воспользуемся формулой Мора в виде (7.10), пренебрегая влиянием нормальной  и перерезывающей  сил. Изгибающий момент в произвольном сечении, определяемом углом (рис. 7.12,б), равен

  

 а) б)

 Рис. 7.12

  

 а) б)

 Рис. 7.13

 Для определения вертикального и горизонтального перемещений соответственно имеем (рис. 7.13).  Подставляя выражения моментов в формулу Мора в форме (7.10), получим:

 

 В рассмотренном примере считается, что размеры поперечного сечения малы по сравнению с радиусом  Это предположение позволяет использовать формулу Мора, полученную для прямого бруса, применительно к кривому брусу.

Графоаналитический способ Верещагина вычисления интегралов в формуле Мора

 Студент МИИЖТ Верещагин в 1924 году предложил способ, значительно упрощающий вычисление интегралов в формуле Мора (7.18).

Интегралы Мора с точностью до постоянного множителя представляют собой интегралы от произведения двух функций вида:

 

где, по крайней мере, одна из функций (рис. 7.14)

  

является линейной (постоянные величины).

 Возьмём к примеру, интеграл

 

где  - момент от единичной обобщённой силы – линейная функция,  - в общем случае – криволинейная функция.

 Подставляя выражение для  в выражение для и производя почленное интегрирование, найдём:

   

 

 Рис. 7.14

 Из рис. 7.14 следует, что  есть элементарная площадь криволинейной эпюры,  - статический момент этой элементарной площади относительно оси  Поэтому:

  (7.20)

 Из полученной формулы (7.20) следует простое правило вычисления интегралов Мора: интеграл с точностью до постоянного множителя равен произведению площади  криволинейной эпюры  на ординату  взятую из прямолинейной эпюры под центром тяжести криволинейной эпюры.

 На первый взгляд, описанный графоаналитический способ вычисления интегралов Мора не даёт упрощений, т.к. всё равно приходится вычислять площадь  криволинейных эпюр. Однако встречающиеся на практике эпюры могут быть разбиты на ряд простейших – прямоугольник, треуголь-ник, симметричную квадратичную параболу и др. Эти эпюры приведены на рис. 7.15.

 

 а) б) в) г)

 Рис. 7.15

 В первом случае  во втором  в третьем  в четвёртом

 Рассмотрим несколько сложных эпюр (рис. 7.16):  а) эпюра разбивается на симметричную параболу, треугольник и прямоугольник; б) эпюра пересекает ось стержня, её можно дополнить сверху и снизу равными площадями и разложить на два треугольника, доказательство добавляемых площадей элементарно: из подобия заштрихованных треугольников следует   откуда  что и доказывает утверждение;

в)эпюра разбивается на симметричную параболу и два треугольника, соответствующих случаю (б).

 

 

 а) б) в)

 Рис. 7.16

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ БАЛОК И РАМ.

3.1. Проверочный расчет балки из прокатных профилей.

3.1.1. Расчет геометрических характеристик сечения.

Исходные данные для расчета балки из прокатных профилей показаны на рис. 3.1. Сечение балки изображено на рис. 3.2.

Рассчитаем геометрические характеристики сечения. Осевой момент инерции для двутавра профиля №20 Ix I=115см4 (по ГОСТ 8240-56).

Осевой момент сопротивления WxI=WyI=23,1см3.

Осевой момент инерции для равнобокого уголка профиля №9 Ix L=82,1см4 (по ГОСТ 8240-56).

Для составного сечения:

3.1.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов.

Построим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов. Возьмем произвольное сечение на первом участке AB (0£z1£l1). Запишем уравнения для перерезывающей силы и изгибающего момента в произвольном сечении в пределах этого участка и рассчитаем их значения в характерных точках:

Возьмем произвольное сечение на первом участке BC (0£z2£l2). На данном участке:

Для участка СD (0£z3£l3), уравнения имеют вид:

3.1.3. Расчет на прочность.

Материал двутавра и уголков Ст30. Допускаемые напряжения [s]=282МПа. Рассчитаем максимальные напряжения, возникающие в балке, они находятся в сечении, где изгибающий момент достигает наибольшего значения Mmax=16,55кНм:

Условие прочности имеет вид smax£[s]. Условие прочности не выполняется smax=716,5МПа > [s]=282МПа. Необходимо взять профиль больших размеров. Для этого, исходя из условия прочности, определим необходимое минимальное значение осевого момента сопротивления:

Выберем двутавр – ближайший из ряда двутавр №33 Wx=59,9см3, тогда  Откуда максимальные напряжения

 - условие прочности выполняется.

ПРИНЦИП НЕЗАВИСИМОСТИ ДЕЙСТВИЯ СИЛ (ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ) Конструкции, для которых выполняется закон Гука, а перемещения пренебрежимо малы по сравнению с начальными размерами, называются линейно-деформируемыми
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений