Курс сопротивления материалов. Примеры

Если в поперечных сечениях стержня действует нормальная сила N, а прочие си-ловые факторы равны нулю, то стержень испытывает РАСТЯЖЕНИЕ или СЖАТИЕ, в зависимости от направления нормальной силы

Применение общих принципов и методов сопротивления материалов к расчёту стержневых систем.

Стержневые системы и их классификация

 В сопротивлении материалов и в строительной механике при расчёте конструкций вместо них самих рассматриваются расчётные схемы или механические модели. В таких расчётных схемах стержни соединяются друг с другом связями в виде шарниров или жёстких узлов. Примерами простейших стержневых систем являются фермы (рис.8.1). В таких стержневых системах элементы испытывают только растяжение либо сжатие. Усилия определяются методом сечений (вырезания узлов).

 а) б) 

 Рис.8.1

 Если элементы-стержни соединяются с помощью жёстких узлов и испытывают в основном изгиб, то они называются рамами (рис 8.2). 

 Если балка лежит на нескольких опорах, то её называют неразрезной многопролётной балкой в отличие от многопролётных разрезных, в которых над опорами врезаны шарниры (рис.8.3), и она составляет ряд однопролётных статически неопределимых балок.

 

 а) б) в) г) 

 Рис. 8.2

 

 а) б) 

 Рис.8.3

 

 Кривые стержни образуют арки (рис.8.4.), которые в основном работают на сжатие и способны перекрывать большие пролёты.

 

 а) б)

 Рис.8.4

 Кинематический анализ стержневых систем

 Свойство систем изменять свою форму при отсутствии деформации называется их кинематической изменяемостью. При определении изменяемости или неизменяемости стержневой системы следует представить себе все её элементы абсолютно жёсткими. Каждую абсолютно жёсткую часть системы называют обычно диском.

  Простейшей геометрически неизменяемой стержневой системой является система из трёх стержней соединённых шарниром (рис.8.5,а). Она имеет три узла У = 3, три жёстких диска-стержня Д = 3 и три опорных стерженька С0 = 3 (неподвижный шарнир А и подвижный шарнир-каток В). Простейшей изменяемой стержневой системой является конструкция из четырёх стержней Д = 4, соединённых четырьмя шарнирными узлами

У = 4 (рис.8.5,б). Она имеет три опорных стерженька С0 = 3. Эта изменяемая система представляет собой простейший механизм. Можно выделить особый класс стержневых систем, которые допускают малые перемещения, приводящие к возникновению больших усилий (рис.7.4). Такие системы образуют класс так называемых геометрически мгновенно-изменяемых систем.

 а) б)

 Рис. 8.5

 Для выяснения вопроса о геометрической изменяемости или неизменяемости стержневых систем проводится их кинематический анализ. Степенью свободы твёрдого тела, в т.ч. стержня, называется число независимых перемещений или координат N, определяющих его положение в пространстве или на плоскости. Например, стержень в плоскости обладает тремя степенями свободы (N = 3). Его положение можно определить с помощью трёх перемещений   (рис.8.6,а).

 Связь, которая лишает тело одной степени свободы, называется простой. Один опорный стерженёк (например каток) представляет собой такую одну простую связь (рис.8.6,б). Он лишает стержень одного вертикального независимого перемещения . Закреплённый стержень имеет в плоскости две степени свободы N = 2. 

 а) б) в)

  

 г) д)

 Рис.8.6

На рис.8.6,в левый конец стержня закреплён с помощью двух опорных стерженьков (неподвижный шарнир), т.е. двух простых связей , он лишает тело двух независимых перемещений и  и разрешает только поворот . Степень свободы так закреплённого стержня N = 1.

  Если левый конец стержня защемить (рис.8.6,г), то он теряет возможность к перемещениям в плоскости. Его степень свободы N = 0. В этом случае будем говорить, что на стержень наложены три простые связи.

 Освободим теперь стержень от одной простой связи, врезав в защемление на левом его конце шарнир (рис.8.6,д). Стержень получает возможность к вращению, и его положение определяется угловым перемещением . Его степень свободы стала снова N = 1.

 Пусть мы имеем простейшие рамы (рис.8.7.) Заменим жёсткий узел В в первой из них (рис.8.7,а) шарниром. Мы можем отметить, что внутренний шарнир В снимает одну простую связь при соединении двух стержней. Если в узле В сходятся три стержня и мы врезаем в их соединение шарнир, то он снимает две простые связи, т.е. на единицу меньше числа сходящихся в раме стержней. Если соединяется m стержней (m>3) , то при врезании шарнира освободится (m-1) простая связь.

 

 

 а)

 

 б)

 Рис.8.7

Учитывая изложенное выше, мы можем степень свободы стержневой системы вычислить по формуле П.Л.Чебышева:

  N = 3Д - 2Ш0 - С0 ,

где Д – число неизменных жёстких частей стержневой конструкции, обладающих тремя степенями свободы; Ш0 – число простых шарниров;

С0 – число опорных стержней (простых связей).

 Для определения числа Д следует предварительно отбросить все внутренние шарниры и опорные связи, а для определения Ш0 – все опоры.

 Для шарнирно-стержневых систем (ферм) степень свободы может быть определена по более простой формуле:

 N = 2У - С - С0 , 

где У – число узлов фермы, С = Д – число внутренних стержней фермы,

С0 – число опорных стержней (простых внешних связей).

 На рис 8.8,а изображена стержневая система у которой Д=5, , С0 = 3, . Система кинематически неизменяемая.

  Врежем в данную стержневую систему два шарнира в узлах Е, Н (рис.8.8,б,в). Тогда у системы будет Д=7, ,

С0=3,. Следовательно система имеет две степени свободы.

Два независимых перемещения системы  и  показаны на рис.8.8,б,в.

 а) б)

 в)

 Рис.8.8

 В заключение отметим, что число простых связей, превращающих стержневую систему в неизменяемую, называется необходимым числом связей для образования стержневой конструкции.

 2. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ.

2.1. Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня.

Для ступенчатого стержня, представленного на рис 2.1, необходимо построить эпюру крутящих моментов, эпюру условных касательных напряжений как функцию параметра сечения d, из условия прочности найти искомое значение d, в расчетах использовать материал, представленный кривой деформирования.

2.1.1. Построение эпюры крутящих моментов.

Направим вдоль оси стержня ось z (рис 2.2,а). Запишем условие равновесия стержня AD в виде:

 

 

Из условия равновесия

находим значение Т4:

Для определения внутренних

силовых факторов, воспользуемся

методом сечений.

Разобьем стержень на три участка АВ, ВС, СD, проведем на каждом из них произвольные сечения и зададим координаты этих сечений z1, z2, z3.

Рассмотрим участок АВ (0 ≤ z1 ≤ l1 = 0,5 м)

Рассмотрим участок ВС (0 ≤ z2 ≤ l2 = 0,2 м)

Рассмотрим участок СD (0 ≤ z3 ≤ l3 = 0,6 м)

Рассчитаем значение крутящего момента в точках С и D. В точке С:

В точке D:

По полученным данным построим эпюру крутящих моментов (рис 2.2).

ПРИНЦИП НЕЗАВИСИМОСТИ ДЕЙСТВИЯ СИЛ (ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ) Конструкции, для которых выполняется закон Гука, а перемещения пренебрежимо малы по сравнению с начальными размерами, называются линейно-деформируемыми
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений