Курс сопротивления материалов. Примеры

Если в поперечных сечениях стержня действует нормальная сила N, а прочие си-ловые факторы равны нулю, то стержень испытывает РАСТЯЖЕНИЕ или СЖАТИЕ, в зависимости от направления нормальной силы

Расчёт статически неопределимых систем методом сил

 Наиболее распространённым методом раскрытия статически неопределимых систем является метод сил. Он заключается в том, что система освобождается от лишних связей и их действие заменяется лишними неизвестными, которые принимаются за основные неизвестные задачи (рис.8.12, 8.13). Стержневая система, получаемая из заданной путём отбрасывания лишних связей и внешней нагрузки называется основной (рис.8.9,б, 8.10,б).

 

 а) б) в)

 Рис.8.12

 Основных систем может быть несколько. Основная система с приложенными лишними неизвестными Xi  и внешней нагрузкой Р носит название эквивалентной системы. Условие эквивалентности этой заданной системы состоит в том, что величины лишних неизвестных должны быть подобраны так, чтобы перемещения системы в точности соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на неё отброшенными связями.

 Рис.8.13

 Для рамы на рис.8.12. горизонтальное и вертикальное линейные перемещения точки А равны нулю. Взаимные линейные и угловые обобщённые перемещения краёв разреза В-В также равны нулю. Аналогично для балки на рис.8.13. Таким образом, обобщённые перемещения:

 , (8.1)

где i = 1, 2, … , 5.

 Пользуясь принципом независимости действия сил,(8.1) запишем в виде:

 . (8.2)

 Пользуясь законом Гука, каждое из перемещений  от силы Xj представим в виде:

  , (8.3)

где - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом влияния. Его геометрический смысл легко выяснить, полагая Xj = 1. В этом случае . Следовательно, - это перемещение в направлении

i-ой единичной силы от действия единичной силы, приложенной в направлении j.

 Учитывая (8.3), выражение (8.2) запишем в виде:

  (8.4) 

или в развёрнутом виде:

 

 

 Полученные уравнения (8.4) носят название канонических уравнений метода сил. Их количество зависит от степени статической неопределимости стержневой системы.

 Коэффициенты влияния  находятся с помощью формулы Мора (7.18), где внутренние силовые факторы от внешней нагрузки следует заменить таковыми от единичной силы Xj = 1:

  (8.5) 

 Из (8.5) следует, что . Перемещения  определяются обычным путем с помощью формулы Мора (7.18).

  Если возникает необходимость определения перемещения некоторой точки С статически неопределимой системы, то в этой точке в направлении искомого перемещения следует приложить единичную силу  (рис.8.14,а).  а) б)

 Рис.8.14

 Если силу  приложить к заданной системе (рис.8.12,а), то в таком случае вновь возникает задача о раскрытии статической неопределённости. Эта трудность устраняется, если работать с эквивалентной системой. В этом случае единичная сила прикладывается к основной системе (рис.8.14,б).Указанный способ часто используется для, так называемой, деформационной проверки правильности построенных эпюр. В эквивалентной системе определяются заведомо известные перемещения некоторых точек. Обычно это перемещения тех точек, где были отброшены лишние связи. Если полученный результат совпадает с ожидаемым, то это подтверждает правильность построенных эпюр.

Расчет на прочность. Подбор сечения.

Из эпюры Эτ d3 видно, что опасными являются сечения на участке АВ, где дей-ствует наибольшее напряжение

Условие прочности при кручении имеет вид:

  где [τ] – допускаемое касательное напряжение.

Примем для материала Д16 [τ] = 0,5 [σ] = 0,5∙ 225,6 = 112,8 МПа.

Тогда условие прочности примет вид:

.

Из условия прочности находим оптимальное значение диаметра:

Полученное значение диаметра округляем и принимаем (из ряда Ra 40 по ГОСТ 6636-86) d = 100 мм.

Определим напряжения, действующие в сечениях при выбранном значении d.

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок CD:

По полученным данным строим эпюру действующих на валу касательных напряжений Эτ (рис 2.2).

ПРИНЦИП НЕЗАВИСИМОСТИ ДЕЙСТВИЯ СИЛ (ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ) Конструкции, для которых выполняется закон Гука, а перемещения пренебрежимо малы по сравнению с начальными размерами, называются линейно-деформируемыми
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений