Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3б. Изгиб балки на двух опорах Для схемы № 3 требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы с таким же соотношением h/b.

Примеры расчёта статически неопределимых стержневых систем по методу сил

Пример 1. Раскрыть статическую неопределимость балки методом сил и определить точки С приложения силы Р (рис.8.15,а).

 

 Рис. 8.15.

Решение. Балка один раз статически неопределима, ибо в задаче возникает три неизвестные опорные реакции RA , RB , mA , а уравнений равновесия можно составить только два. В качестве лишней связи выбираем опору В. На рис. 8.15,б,в изображены основная и эквивалентная системы. Каноническое уравнение метода сил имеет вид

 . (1)

 Для определения коэффициентов ,  для основной системы строим эпюры отдельно от действия внешней нагрузки (рис. 8.15,г) и от единичной силы

(рис. 8.15,д).

На основании формулы Мора и способа Верещагина находим

    

Подстановка полученных выражений в каноническое уравнение (1) приводит к выраже-нию:

  

откуда находим:

 . (2)

 Теперь, используя (2), из уравнений равновесия для эквивалентной системы

  

находим опорные реакции:

  

 75 

 На рис. 8.15,е,ж изображены окончательные эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов.

 Для определения прогиба в точке С прикладываем в этой точке основной системы единичную силу Р = 1 (рис. 8.15,з). Перемножая эпюру от этой силы на результирующую (рис.8.15,ж), находим:

   

 Деформационная проверка правильности построенных эпюр состоит в определении перемещения точки В, которое заведомо равно нулю. Используя формулу Мора и способ Верещагина, перемножаем эпюру моментов на эпюру от единичной силы  В результате находим:

   

Следовательно, эпюра моментов в данной задаче построена правильно.

Пример 2. Решим предыдущую задачу (рис. 8.16,а) несколько проще. Выберем основную систему так, как показано на рис. 8.13,б, т.е. разрежем балку в защемлении и вставим шарнир. Этим самым мы освободим одну простую лишнюю связь. Экивалентная система приведена на рис. 8.16,в, а эпюры от единичного момента и внешней нагрузки – на рис. 8.16,г,д. Коэффициенты канонического уравнения:

 

 Подставляя полученные значения коэффициентов в каноническое уравнение, найдём , т.е. то же значение опорного момента mA , что и в предыдущей задаче.

Далее для эквивалентной системы строим эпюры Q, M. Эпюра моментов может быть получена весьма просто сложением эпюр моментов, изображённых на рис. 8.16,г,д, при условии, что ординаты единичной эпюры увеличены раза. После определения опорных реакций RA , RB из уравнений равновесия

  ,

обычным способом строится эпюра Q. Перемножая эпюры на рис. 8.16,е,ж, находим:

 

 Деформационная проверка даёт

 

что подтверждает правильность решения.

 

 Рис. 8.16.

Расчет на жесткость стержня постоянного сечения.

Для стержня постоянного сечения (рис. 2.4), необходимо построить эпюру углов закручивания и из условия жесткости найти искомое значение диаметра стержня d. Материал стержня – дюраль Д16.

G = 27 ГПа.

2.2.1. Построение эпюры углов закручивания.

Разобьем стержень на участки АВ, ВС и СD (рис. 2.5). В пределах каждого участка возьмем произвольные сечения z1, z2, z3 соответственно.

На участке ВС (0 ≤ z1 ≤ l2 = 0,2 м)

На участке АВ (0 ≤ z2 ≤ l1 = 0,5 м)

На участке CD (0 ≤ z3 ≤ l3 = 0,6 м)

Находим углы закручивания в долях 1/GIp.

На участке ВС (0 ≤ z1 ≤ l2 = 0,2 м)

На участке АВ (0 ≤ z2 ≤ l1 = 0,5 м)

Наличие заделки в точке С говорит о том, что , тогда , а  

На участке CD (0 ≤ z3 ≤ l3 = 0,6 м)

 

Функцией угла закручивания на участке CD является парабола.

По полученным данным значениям строим эпюру углов закручивания Эφ в долях от GIp (рис. 2.5).

Содержание расчетно-проектировочной работы охватывает далеко не весь курс сопротивления материалов, а лишь его основные разделы: центральное растяжение-сжатие прямого бруса, геометрические характеристики поперечных сечений, прямой плоский изгиб балок, устойчивость сжатого стержня.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений