Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3б. Изгиб балки на двух опорах Для схемы № 3 требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы с таким же соотношением h/b.

Пример 3. Рассмотрим дважды статически неопределимую балку (рис. 8.17,а). Раскроем её статическую неопределённость методом сил.

 Возможны, как и в примерах 1 и 2, два варианта выбора эквивалентной системы (рис. 8.17.,б,в). Более рациональной является эквивалентная система на рис. 8.14,в, где в опорах врезаны внутренние шарниры.

 Канонические уравнения метода сил имеют вид:

  (1)

Для определения коэффициентов строим для основной системы эпюры от внешней нагрузки (рис. 8.17,г) и единичных моментов (рис. 8.17,д).

 Рис. 8.17

В результате их перемножения по способу Верещагина, находим:

  

 Подставляя полученные значения коэффициентов в канонические уравнения (1), находим:

  

откуда следует:

 

 Эпюра моментов от Х1 и Х2 построена на рис. 8.17,е. Складывая её с эпюрой моментов от внешних сил (рис. 8.17,г), находим суммарную эпюру моментов (рис. 8.17,ж).

 Найдём далее из уравнений равновесия частей эквивалентной системы опорные реакции. Из рис. 8.14,в следует:

 

откуда находим:

 

 Эпюра перерезывающих сил строится по известным правилам (см. рис. 8.17,з). Далее производится деформационная проверка. Угол поворота сечения в опоре 1 (защемление) и взаимный угол поворота сечений над опорой 2 равны нулю.

Сделаем проверку второго из этих условий:

 

Деформационная проверка подтверждает правильность полученного решения.

Пример 4. Раскрыть статическую неопределимость рамы и построить эпюры N, Q, M (рис. 8.18).

 Рис. 8.18

Заданная стержневая система (рис. 8.12,а) один раз статически неопределима. На

рис. 8.18,б изображена основная система, на рис. 8.18,в – эквивалентная. Каноническое уравнение метода сил имеет вид:

  (1)

 Для определения коэффициентов  строим эпюры моментов от единичной силы   и внешней силы Р (рис. 8.19). При определении используем эпюру от единичной силы (рис. 8.19,а). Она является одновременно эпюрой моментов от заданной и единичной нагрузки. Применяя формулу Мора (7.18) при сохранении члена с изгибающим моментом и способ Верещагина, получаем:

   

Для вычисления  воспользуемся формулой Мора (7.18) в виде

  

где использованы эпюры на рис. 8.19. Подставляя найденные значения  в каноническое уравнение, получим:

  

откуда находим лишнюю неизвестную:

 

 79

 

 Рис. 8.19

 

 При построении эпюр используем эквивалентную систему, в которой Х1 уже известно, и метод сечений. Построение эпюры моментов можно упростить, если применить способ разложения: эпюру моментов строить отдельно от внешней нагрузки и силы Х1 , а затем их сложить. Эпюра от внешней нагрузки изображена на рис. 8.19,б. Эпюру моментов от Х1 получим от единичной силы  (рис. 8.19,а), если все ординаты этой эпюры умножим на Х1 (рис. 8.20,а). Складывая эту эпюру с эпюрой на рис. 8.19,б получим окончательную эпюру моментов (рис. 8.20,б). Эпюры нормальных и перерезывающих сил строим с использованием метода сечений (см. рис. 8.18).

 

 Рис 8.20 

 Для деформационной проверки определим перемещение в направлении силы Х1 эквивалентной системы (рис. 8.18). Для этого по правилу Верещагина перемножим окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. 8.20,б) на единичную (рис. 8.19,а) 80 

либо, что всё равно, эпюры моментов Х1 и Р (рис. 8.20,а; 8.19,б) - на единичную от .

 В результате получим:

  

что подтверждает правильность полученного решения.

 

Пример 5. Рассмотрим два раза статически неопределимую раму (рис. 8.21,а). На

рис. 8.21,б изображена её эквивалентная система. Для определения коэффициентов системы канонических уравнений (8.4) построим эпюры от единичных сил и внешней нагрузки (рис. 8.21). Используя формулы (7.18), (8.5) и способ Верещагина найдём:

  

Подставляя найденные значения коэффициентов в канонические уравнения (8.4) для

i = 2, получим:

 

откуда:

 

 Умножая единичные эпюры на рис. 8.21. соответственно на Х1 , Х2 , получим эпюры моментов от этих сил (рис. 8.22,а,б). Складывая эти эпюры с эпюрой моментов от внешней нагрузки (рис. 8.20,в), получим суммарную эпюру моментов (рис. 8.23,а). Эпюры N и Q изображены на рис. 8.23,б,в соответственно.

 Произведём деформационную проверку. Для этого найдём перемещения:

  

что подтверждает правильность полученного решения.

  

 Рис. 8.21

 

 Рис. 8.22

 

 Рис. 8.23

Расчет на жесткость.

По условию жесткости, максимальный угол поворота не должен превышать допускаемый [Θ] = 0,001 рад/м, т.е. φmax ≤ [Θ]. Из эпюры углов поворота построенной в долях от GIp , видно, что максимальный угол поворота находится в сечении А φmax = .

Полярный момент сечения Ip = , откуда найдем диаметр стержня .

Полученное значение диаметра округлим и примем (из ряда Ra 40 по ГОСТ 6636-86) d = 230 мм, тогда Ip= .

Окончательно рассчитывая углы поворота в каждом сечении, получаем

 

 

3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ БАЛОК И РАМ.

3.1. Проектировочный расчет чугунной балки.

3.1.1. Расчет геометрических характеристик поперечного сечения.

Для заданной формы поперечного сечения балки (рис. 3.1,а) необходимо определить положение центра тяжести сечения, положение главных центральных осей и вычислить значения главных моментов инерции сечения в долях от величины а.

Свяжем с сечением систему координат X, Y (рис. 1.3,б). Разобьем фигуру на составляющие: треугольник 1, прямоугольник 2 и полукруг 3. Определим для них в выбранной системе координат положение центров тяжести С1, С2, С3 и значения их площадей А1, А2, А3.

Для треугольника 1:

Для прямоугольника 2:

Для полукруга 3:

Определим положение центра тяжести фигуры:

 

В данном случае суммирование ведется по трем составляющим (n=3), тогда

Проведем через центр тяжести фигуры С(xC, yC) оси x и y, которые являются центральными, главными осями инерции. Вычислим осевой момент инерции составного сечения.

, где – осевые моменты инерции составляющих

фигур относительно своих центральных осей ,  - расстояние между осями  и . В данном случае

Вычислим значения осевых моментов инерции

Таким образом, осевой момент инерции относительно главной центральной оси х равен:

Содержание расчетно-проектировочной работы охватывает далеко не весь курс сопротивления материалов, а лишь его основные разделы: центральное растяжение-сжатие прямого бруса, геометрические характеристики поперечных сечений, прямой плоский изгиб балок, устойчивость сжатого стержня.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений