Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3б. Изгиб балки на двух опорах Для схемы № 3 требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы с таким же соотношением h/b.

Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости

  Рассмотрим раму, имеющую ось геометрической симметрии

(рис. 8.24,а). Заменим внешнюю нагрузку ей статически эквивалентной, такой, что она представляет сумму симметричной (рис.8.24,б) и кососимметричной (рис.8.24,в) нагрузок относительно оси геометрической симмет-рии.

 Аналогично можно классифицировать внутренние силовые факторы в произвольном сечении стержневой системы (рис.8.25). 

  Изгибающие моменты МХ, МУ, нормальная сила N являются зеркальным отражением друг друга относительно плоскости поперечного сечения. Эти внутренние силовые факторы назовём симметричными. Остальные (перерезывающие силы Qx , Qy и крутящий момент Мz ) назовём антисимметричными или кососимметричными силовыми факторами.

   

 Рис. 8.24.

 

 Докажем теперь положение:

у геометрически симметричной рамы в плоскости симметрии при симметричной внешней нагрузке обращаются в нуль кососимметричные внутренние силовые факторы, а при кососимметричной внешней нагрузке – симметричные силовые факторы (рис.8.26).

 

 

 Рис. 8.25

 Канонические уравнения метода сил для изображённой на рис.8.24 трижды статически неопределимой рамы имеют вид

   (8.6)

 

 Рис. 8.26

 На рис. 8.27.приведены эпюры изгибающих моментов от единичных сил.

 На основании этих эпюр находим:

 

 

 а) б) в)

 Рис. 8.27

Следовательно, канонические уравнения (8.6) принимают вид

  (8.7)

 На рис. 8.28 приведены эпюры моментов от внешних симметричной (рис.8.28,а) и кососимметричной (рис.8.28,б) нагрузок.

  В первом случае симметричной внешней нагрузки имеем:

 

 

 а) б)

 Рис. 8.28

 Из (8.7) следует Х2 = 0, т.е. при симметричной внешней нагрузке обращается в нуль кососимметричный силовой фактор (перерезывающая сила), что и требовалось доказать.

 Во втором случае кососимметричной внешней нагрузки имеем:

 

 Канонические уравнения (8.7) принимают вид

   (8.8)

Т.к. определитель системы двух первых уравнений (8.8)

  

 то х1 = х3 = 0, что и требовалось доказать.

  Полученные результаты могут быть распространены на пространственные стержневые системы.

Физические уравнения.

Составим физические уравнения. По закону Гука

Подставляя в уравнение совместности перемещений, с учетом длин стержней, соотношений площадей и материала, получим

умножим на ЕА и подставим данные

после вычислений получим

. (6)

1.4.4. Расчет усилий в стержнях.

Статическое уравнение (4) и дополнительно преобразованное уравнение (6) совместности перемещений дают систему разрешающих уравнений:

 Из решения системы уравнений получим NDB=0,73P; NCB=2,48P.

1.4.5. Расчет на прочность.

Напряжения в стернях

 Видно, что максимальные напряжения возникают в стержне СВ:

smax =sсв=108,5МПа.

 Условие прочности имеет вид

smax£[s]=sт/n,

где N – коэффициент запаса прочности. Для сталей n=1,5¸2,5, примем n=2. Тогда допускаемые напряжения [s]=845,7/2=422,85МПа.

 Условие прочности для заданной стержневой системы выполняется:

smax=108,5МПа<[s]=422,85МПа.

Содержание расчетно-проектировочной работы охватывает далеко не весь курс сопротивления материалов, а лишь его основные разделы: центральное растяжение-сжатие прямого бруса, геометрические характеристики поперечных сечений, прямой плоский изгиб балок, устойчивость сжатого стержня.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений