Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3б. Изгиб балки на двух опорах Для схемы № 3 требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы с таким же соотношением h/b.

Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений 

 Пример 1. Рассмотрим трижды статически неопределимую систему (рис. 8.35,а). 

 Заданная система Основная система Единичное состояние

 системы

 а) б) в)

 Рис. 8.35

 Степень кинематической неопределимости задачи  Неизвестных перемещений – одно. Это поворот узла  Каноническое уравнение метода перемещений:

  (1)

 Введём защемление узла. В результате получаем основную систему метода. Реактивный момент в левом защемлении, согласно рис. 8.35,а, равен:

  

Превратим теперь защемление в узловое и повернём узел 1 на единичный угол   (рис. 8.35,в).

 Согласно рис. 8.34,а в примыкающих к узлу стержнях на их концах возникают моменты  и  (рис. 8.36,б). Из равновесия узла находим:

  

Подставляя значения найденных коэффициентов в каноническое уравнение (1), получим:

 

 Эпюры от внешней нагрузки в основной системе и от единичного смещения показаны на рис. 8.36,а,б.

 

 а) б) в)

 Рис. 8.36

Используя формулу (8.14) находим узловые моменты и строим суммарную эпюру моментов (рис. 8.36,в).

  Пример 2. Рассмотрим два раза статически неопределимую раму (рис. 8.37,а). Степень статической неопределимости рамы  ибо она имеет два независимых перемещения узлов: угол поворота узла 1 и линейное перемещение узла 2 (рис. 8.37,а,б). Соответствующие канонические уравнения метода перемещений имеют вид:

  (1)

 Заданная и эквивалентная системы задачи и единичные состояния изображены на рис. 8.37. Эпюры моментов от внешней нагрузки в основной системе изображены на рис.8.38,а. Эпюры моментов от единичных смещений представлены на рис. 8.38.

Из условий равновесия узла 1 в каждом из состояний находим:

  

 

 Заданная система Эквивалентная система Кинематически 

 изменяемая

 система

 а) б) в)

 Первое единичное состояние Второе единичное состояние

  г) д) 

 Рис. 8.37

 а) б) в)

 Рис. 8.38

 Для определения коэффициентов  рассмотрим равновесие отсечённых частей рамы (рис. 8.39). Из уравнений равновесий находим:

  

 Рис. 8.39

Канонические уравнения задачи принимают вид

 

Примем для простоты расчёта  и . Тогда получим:

 

откуда

 

Далее по формуле  строим эпюру изгибающих моментов

(рис. 8.40).

 

 Рис. 8.40

Построение эпюры напряжений.

  Наибольшие напряжения при кручении возникают на внешних волокнах и определяются как

 где - полярный момент сопротивления, Ip – полярный момент инерции сечения, rmax – максимальный радиус. Определим геометрические характеристики сечений:

 Участок АВ:

Участок ВС:

Участок CD:

 Определим опасное сечение, в котором возникают наибольшие напряжения, в долях 1/d3:

 Участок AB (0£z1£l1):

Участок BC (0£z2£l2):

Участок CD (0£z3£l3):

 По полученным данным строим Эtd3 (рис. 2.2).

Содержание расчетно-проектировочной работы охватывает далеко не весь курс сопротивления материалов, а лишь его основные разделы: центральное растяжение-сжатие прямого бруса, геометрические характеристики поперечных сечений, прямой плоский изгиб балок, устойчивость сжатого стержня.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений