Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3б. Изгиб балки на двух опорах Для схемы № 3 требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы с таким же соотношением h/b.

Устойчивость упругих систем

 Концепция устойчивости

 Под устойчивостью понимают способность систем сохранять их состояние равновесия или движения во времени под действием малых возмущений. Под неустойчивостью понимают способность систем при действии весьма малых возмущений получать большие перемещения.

 Наглядной иллюстрацией устойчивого состояния равновесия служит поведение тяжёлого шарика на гладкой поверхности (рис. 9.1).

  

 а) б) в) 

 Рис. 9.1

 Если слегка отклонить шарик от состояния равновесия 1, как показано пунктиром, и предоставить его самому себе, то в случае а) шарик начнёт колебаться около нижнего положения 1 и вернётся к нему; в б) он остаётся безразличным, а в случае в) он начнёт сразу же удаляться от положения 1.

 Приведённый пример отождествляет понятие устойчивого состояния шарика со свойством возмущённого (отклонённого) состояния  возвращаться к исходному 1.

  История науки знает различные определения понятия устойчивости. Одним из первых было определение, данное Л.Эйлером в 1749г. в связи с практически важным вопросом того времени – вопросом устойчивости кораблей Российского флота: «тела равновесное положение будет устойчиво, ежели оное тело, будучи несколько наклонено, опять справится» (рис. 9.2).

 Термин устойчивость был введён в науку впервые Л.Эйлером. Применительно к упругим системам определение Эйлера можно сформулировать следующим образом: равновесие упругой системы при заданных внешних силах считается устойчивым в смысле Эйлера, если после статического

приложения и последующего снятия малой возмущающей силы система возвращается к своему исходному состоянию (рис. 9.3). В противном случае исходное состояние равновесия системы считается неустойчивым.

 

 а) Исходное состояние б) Возмущённое состояние  в)Возмущённое состо- 

 c восстанавливающим яние с опрокидываю моментом  щим моментом 

 Рис. 9.2

 

 

 а) б) в) г)

 Рис. 9.3

 Минимальное значение силы Р, при котором система впервые не возвращается к исходному состоянию, называется бифуркационным. При этом значении нагрузки происходит нарушение единственности решения задачи, т.к. наряду с исходной прямолинейной формой равновесия стержня существует отклонённая форма.

 Другим, более общим, определением устойчивости состояния равновесия является определение Лагранжа: исходное состояние равновесия упругой системы устойчиво, если после отклонения её от этого состояния она, предоставленная самой себе, стремится вернуться к нему, совершая малые колебания, затухающие со временем при наличии сил внешнего и внутреннего сопротивления (рис. 9.4,а).

  С увеличением сжимающей силы частота  собственных колебаний системы стремится к нулю, а затем движение становится апериодически неустойчивым (рис. 9.4,б).

  Для консервативных внешних сил критическая нагрузка находится из условия равенства нулю частоты собственных колебаний и совпадает с эйлеровой нагрузкой.

 а) б)

 Рис. 9.4

 Если система (сжатый стержень) испытывает пластические деформации, то при любом малом возмущении он изгибается и затем при снятии возмущения не возвращается в своё исходное состояние (рис. 9.2,г). Получается, что по Эйлеру всякое равновесное состояние сжатой системы за пределом упругости – неустойчивое. Такое допущение с практической точки зрения является абсурдным. В.Г.Зубчаниновым предложено частное определение устойчивости сжатой системы за пределом упругости: состояние равновесия упругопластической системы является устойчивым, если она после статического приложения и последующего снятия малой возмущающей силы стремится вернуться в своё исходное состояние, пребывая в его малой окрестности.

 Из приведённых выше трёх определений по существу вытекает одинаковый метод исследования элементов конструкций на устойчивость – метод проб на устойчивость путём возмущения исходного состояния равновесия при достигнутом уровне нагружения. Этот метод обладает тем недостатком, что не рассматривает процесс нагружения, с помощью которого был достигнут данный уровень внешних сил, а также тем, что ограничивает область анализа устойчивости лишь малой окрестностью точки бифуркации (рис. 9.5).

 Что произойдёт за точкой бифуркации при дальнейшем нагружении системы? На этот вопрос метод проб ответа не даёт. Судить об устойчивости или неустойчивости конструкции без исследования послебифуркационного поведения невозможно.

 Так, для стержней (см. рис. 9.5, кривая 1) после бифуркации перемещения растут настолько быстро, что предельное значение нагрузки   практически не отличается от бифуркационного.

  

 

 Рис. 9.5

При достижении предельного значения прогибы катастрофически нарастают и для их развития не требуется увеличивать сжимающую нагрузку. Такое поведение стержней предопределило успех бифуркационной теории Эйлера при расчёте стержней и стержневых систем на устойчивость. Для пластин после бифуркации вначале также наблюдается быстрый рост прогибов в некоторой окрестности исходного состояния (рис. 9.5, кривая 1).

 Тонкие пластины и панели образуют выпучины, которые становятся явно заметными. В послебифуркационной стадии прогибы продолжают увеличиваться по мере увеличения нагрузки, но пластина остаётся в малой окрестности своего исходного плоского состояния, пока не достигнуто предельное значение нагрузки

 У оболочек после бифуркации наблюдается резкое падение сжимающей нагрузки и потому они весьма чувствительны к начальным несовершенствам (рис. 9.5, кривая 1).

 В основе современной концепции устойчивости, её методологии лежит исследование процессов нагружения конструкций и их элементов. Процесс нагружения упругой или упругопластической системы считается неустойчивым, если сколь угодно малому продолжению этого процесса отвечают катастрофическое развитие перемещений и деформаций (определение автора). Катастрофа наступает в предельных точках, называемых точкаит бифуркации Пуанкаре. Соответствующие нагрузки называют пределами устойчивости или критическими нагрузками. В предельных точках

  (9.1)

 Условие (9.1) принимается за критерий неустойчивости при квазистатическом нагружении упругопластических систем.

 На практике все реальные элементы имеют начальные несовершенства (технологические прогибы, эксцентриситет приложения нагрузки и др.).

 Такие элементы начинают выпучиваться (изгибаться) с самого начала нагружения (рис. 9.6,а).

  Неустойчивость реальных элементов наступает в предельных точках точно так же, как и у идеальных систем с устойчивым докритическим выпучиванием (рис. 9.5, кривые 2).

 

 а) б)

 Рис. 9.6

 В связи с этим все малые начальные несовершенства отнесём к возмущениям. Это естественно, ибо когда смотрим на инженерную конструкцию (например мостовую ферму со сжатыми элементами), мы представляем её геометрически и статически совершенной (идеальной).

  На процесс выпучивания системы с начальными несовершенствами мы будем смотреть как на возмущённый процесс по отношению к послебифуркационнному процессу идеальной системы. Однако если возмущающие факторы чрезмерно велики, то задачи устойчивости может и не быть (см.рис.9.6,б).

 Здесь изображено поведение сжатого стержня при выпучивании за пределом упругости. Если возмущающий эксцентриситет   меньше некоторого числа , то при некоторой предельной нагрузке  (предел устойчивости) произойдёт потеря устойчивости. Если  достаточно велико (>), то задачи устойчивости не возникает, в этом случае имеет место продольный изгиб. В обоих случаях кривые стремятся по мере роста прогиба к некоторой нагрузке , разделяющей указанные задачи и называемой нагрузкой надёжности устойчивых состояний.

 Для стержней и пластин пределы устойчивости в возмущённом и невозмущённом состояниях близки друг к другу. Поэтому предел устойчивости для идеальных элементов следует принять за расчётные критические

 нагрузки. Для стержней, как мы уже отмечали, предел устойчивости близок к нагрузке бифуркации, что существенно облегчает задачу их расчёта на устойчивость.

 У пластин в пределах упругости бифуркационные нагрузки значительно меньше предела устойчивости и потому задача расчёта на устойчивость сводится, в конечном счёте, к решению нелинейной задачи выпучивания.

 У оболочек предел устойчивости весьма чувствителен к начальным несовершенствам (рис. 9.7). Поэтому здесь существенное значение приобретает знание среднестатического значения начальных несовершенств  

 Рис. 9.7.

 

 Ещё одним важным обстоятельством при формировании концепции устойчивости является учёт ползучести материалов. В связи с этим процесс нагружения разделяется на два этапа: мгновенный процесс нагружения и этап процесса ползучести во времени при постоянной внешней нагрузке. На втором этапе процесс протекает во времени, значительно большем, чем требуется для процесса нагружения до заданного уровня.

 Здесь возможны два варианта постановки задачи устойчивости. Первый относится к случаю ограниченной ползучести материала, второй – неограниченной.

 Рассмотрим первый случай. На рис. 9.8,а кривая 1 относится к первому этапу нагружения, кривая 2 – ко второму после полной выборки ограниченной ползучести. Через  обозначен предел устойчивости при мгновенном нагружении, через  - предел устойчивости при длительном нагружении после выборки ползучести. Он называется пределом длительной устойчивости.

 

 а) б) 

 Рис. 9.8

 Рассмотрим точку М на кривой 1, для которой  В результате ограниченной ползучести (см. рис. 9.8,б) она переходит в точку М/. Такой процесс выпучивания на втором этапе – устойчив, поскольку он ограничен по перемещениям. Пусть теперь <<(точка N на кривой 1

(рис. 9.8,а)). Несмотря на ограниченную ползучесть материала, выпучивание элемента будет происходить до достижения мерой перемещения  некоторого значения (точка N/ на штрихпунктирной кривой пределов устойчивости), после чего происходит выщёлкивание элемента конструкции (рис. 9.8,б, отрезок N/N//), которое называют иногда локальной катастрофой, представляющую собой во времени разрывную динамическую бифуркацию.

 В случае ограниченной ползучести оказывается возможным найти длительный предел устойчивости - такой, что при < можно быть уверенным в том, что система останется устойчивой и будет пребывать в малой окрестности исходного состояния равновесия.

  Рассмотрим теперь процесс выпучивания элемента материала, обладающего неограниченной ползучестью (рис. 9.9).

 В этом случае кривая 1 (рис. 9.9) по-прежнему относится к мгновенному нагружению и на её основании можно найти предел устойчивости . Однако на втором этапе для любого > процесс является неустойчивым (рис. 9.9,б). При достижении точки N/ происходит локальная катастрофа по истечении некоторого промежутка времени, называемого критическим временем .

В этот момент имеет место условие:

  (9.2)

 

  

 а) б) 

 Рис. 9.9

а перемещение  достигает некоторого предельного конечного значения  . При  и заданном постоянном  происходит динамический хлопок, называемый иногда локальной динамической катастрофой или бифуркацией.. Если < то потери устойчивости не происходит. Элемент испытывает продольный изгиб (рис. 9.9,а, линия 2). Процесс выпучивания ММ/ приводит при  к разрушению элемента конструкции. Время   назовём временем разрушения или жизни элемента при продольном нагружении в условиях ползучести.

 Таким образом, при учёте ползучести материалов, следует руководствоваться двумя критериями неустойчивости (9.1), (9.2). Может случиться так, что конструкция, устойчивая на первом этапе, т.е. без учёта свойств материалов во времени, окажется неустойчивой на втором длительном этапе функционирования.

Расчет на прочность. Подбор сечения.

 На эпюре Эtd3 видно, что опасными являются сечения на участке CD, де действуют наибольшие напряжения.

 Условие прочности при кручении имеет вид:

 где [t] – допускаемое касательное напряжение.

 Примем для материала Ст30 [t]=0,5[s]=0,5*563,8=281,9МПа.

  Тогда условие прочности примет вид:

 Из условия прочности находим оптимальное значение диаметра:

 Примем (из ряда Ra40 по ГОСТ 6636-69) d=48мм.

  Определим напряжения, действующие в сечениях при выбранном значении d.

Участок AB:

Участок BC:

Участок CD:

По полученным данным строим эпюру действующих на валу касательных напряжений Эt (рис. 2.2).

Содержание расчетно-проектировочной работы охватывает далеко не весь курс сопротивления материалов, а лишь его основные разделы: центральное растяжение-сжатие прямого бруса, геометрические характеристики поперечных сечений, прямой плоский изгиб балок, устойчивость сжатого стержня.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений