Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 3б. Изгиб балки на двух опорах Для схемы № 3 требуется: 1. Найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. 2. Подобрать сечения заданной формы с таким же соотношением h/b.
Модельные задачи и методы исследования устойчивости упругих систем

 1. Метод Эйлера. Рассмотрим простую модельную задачу, которая поможет выяснить все особенности потери устойчивости. Пусть абсолютно жёсткий стержень (стойка) шарнирно опёрт на нижнем конце и закреплён с помощью упругой горизонтальной пружины на верхнем (рис. 9.10,а). Эта пружина отражает упругие свойства системы при поперечном отклонении. Реакцию пружины представим соотношением :

  (9.3)

где - горизонтальное перемещение верхнего конца стойки. Если переме 104

щение  мало, то нелинейными членами можно пренебречь и принять В противном случае задача принимает геометрически нелинейный характер.

 Нагрузим стойку вертикальной силой Р. Если подействовать на жёсткий стержень поперечной малой возмущающей силой , то он отклонится на некоторый малый угол . Теперь снимем эту силу статически. Если стойка вернётся при заданном значении силы Р в исходное состояние, то она устойчива в смысле Эйлера, если не вернётся, то неустойчива. Пусть имеет место второй случай. Составим уравнение равновесия стойки:

  (9.4)

где  - реакция упругой пружины.

 Из (9.4) следует уравнение

 

откуда либо  (устойчивость), либо  (неустойчивость). Пусть  Тогда в нуль обратится круглая скобка, что позволяет найти критическую силу

  (9.5)

 Полученное значение силы при котором система впервые не возвратилась к исходному состоянию, называется бифуркационной нагрузкой Эйлера. При этом значении силы  происходит нарушение единственности решения задачи , т.е. бифуркация или ветвление решения. Вопрос о том, как будет вести себя стойка при >= остаётся открытым.

 2. Метод Лагранжа. В основу этого метода положено динамическое определение устойчивости состояния равновесия Лагранжа. Для отклонённого состояния стойки, пользуясь принципом Даламбера, имеем

(рис. 9.10,б):

  (9.6)

где - упругая реактивная сила,  - сила инерции, - прогиб, - ускорение, m – масса груза на конце стойки.

 105

 

 а) б)

 Рис. 9.10

 Из (9.6) находим уравнение колебаний системы с сосредоточенной массой m:

  (9.7)

 Полагая , получим характеристическое уравнение:

  (9.8)

где

  (9.9)

Если Р<, то >0,  

  (9.10)

где  - круговая частота колебаний, - начальная фаза, А – амплитуда колебаний. Движение носит периодический характер и потому устойчиво. Если учесть внешнее и внутреннее сопротивление системы, то решение будет иметь вид

 ,

где - параметр, определяющий сопротивление движений. Колебания с ростом времени t затухнут, и система вернётся в своё исходное состояние. Следовательно, исходное состояние равновесия устойчиво.

 Если Р>, то k – действительное число. Решение принимает вид:

   (9.11)

и носит апериодический, т.е. неустойчивый характер. При  имеем . При  происходит переход от устойчивого периодического движения стойки к неустойчивому апериодическому. Это происходит при критической силе

 Таким образом, динамический метод Лагранжа приводит к тому же результату, что и метод Эйлера.

Расчет на жесткость стержня постоянного сечения.

Для стержня постоянного сечения (рис. 2.4) необходимо построить эпюру углов закручивания и из условия жесткости найти искомое значение диаметра стержня d. Материал стержня – сталь, G=80Гпа.

2.2.1. Построение эпюры углов закручивания.

Разобьем стержень на участки AB и BC (рис. 2.5). В пределах каждого участка возьмем произвольные сечения z1 и z2 соответственно.

 Из условия равновесия определим момент в заделке:

 Участок AB (0£z1£l1+ l2):

Участок BC (l1+ l2£z2£ l1+ l2+l3):

 Находим углы закручивания в долях 1/GIp.

На участке АВ:

ввиду наличия заделки в точке В.

Функцией угла закручивания на участке АВ является парабола, вторая производная от которой отрицательна, следовательно, парабола выпуклая.

На участке ВС:

По полученным данным строим эпюру углов закручивания Эj в долях от GIp (рис. 2.5).

Содержание расчетно-проектировочной работы охватывает далеко не весь курс сопротивления материалов, а лишь его основные разделы: центральное растяжение-сжатие прямого бруса, геометрические характеристики поперечных сечений, прямой плоский изгиб балок, устойчивость сжатого стержня.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений