Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 1а. Расчет статически неопределимого бруса ступенчатого сечения Требуется: 1. Построить эпюру продольных сил. 2. Построить эпюру нормальных напряжений по длине бруса. 3. Проверить прочность бруса. Условие прочности: ( или R). 4. Построить эпюру перемещений сечений бруса.

Метод Кармана (начальных несовершенств). Т. Карман первым рассмотрел процесс продольного изгиба стойки с начальными несовершенствами как задачу устойчивости и трактовал предельную нагрузку не как исчерпания несущей способности системы, а как предел устойчивости. Однако такая точка зрения долгое время (вплоть до наших дней) не находила поддержки. Применим метод Кармана к стойке на рис. 9.11а.

 

 а) б) в)

 Рис. 9.11

Стойка имеет отклонение от вертикали на некоторый угол  и сжимается силой Р. При Р>0 стойка отклонится от вертикали на угол >. Уравнение равновесия в некоторый момент процесса продольного нагружения стойки имеет вид

  (9.12)

где  Из (9.12) следует:

  ,  (9.13)

Дифференцируя по или по Р соответственно, находим:

  (9.14)

откуда при  следует  Согласно изложенной в 9.1 концепции значение силы является пределом устойчивости и совпадает с эйлеровой силой.

 4. Энергетический метод С.П. Тимошенко. При отклонении системы на угол   от положения равновесия (рис. 9.11в), верхний конец стержня опускается на величину . Сила Р совершает работу . Перемещение

  

где прогиб   

Работа силы Р на перемещение  принимает вид  

 Упругая внутренняя реактивная сила  совершает работу, называемую потенциальной энергией деформации:

 

Величина

 

носит название полной потенциальной энергии системы, связанной с потерей устойчивости. Если П > 0 (Р < ), то энергии П достаточно для возвращения стержня в исходное состояние, т.е. его состояние равновесия устойчиво. Если П < 0 (P >), то энергии деформации недостаточно для возвращения стержня в исходное состояние равновесия, т.е. он находится в неустойчивом состоянии равновесия. Граничное значение энергии П = 0 является критерием для определения критической силы . Таким образом, энергетический метод приводит к критической нагрузке, равной нагрузке Эйлера для данной модели.

 5. Метод Койтера исследования нелинейного послебифуркационного процесса выпучивания (нагружения). Пусть реакция в упругой пружине (рис. 9.13):

   (9.15)

т.е. зависимость носит нелинейный характер.

 

 а) б) 

 Рис. 9.13

Тогда уравнение равновесия (9.3) примет вид

  (9.16)

откуда либо  либо , и тогда равно нулю выражение в квадратной скобке. Второе условие приводит к соотношению, которое позволяет установить зависимость между силой Р и перемещением в процессе нагружения элемента:

  (9.17)

 Если > 0, то имеем кривые зависимости с симметричной бифуркацией (рис. 9.13,а). Предположим, что с развитием выпучивания и увеличением перемещения  в пружине при >0 возникают пластические деформации. Тогда вместо (9.3) при  имеем:

   

откуда

  (9.18)

и с ростом нагрузка Р будет падать (рис. 9.13,а).

 В реальных системах переход к пластической стадии деформирования осуществляется на графике от плавно с экстремальной предельной точкой.

 Если < 0 , то согласно (9.17) имеем симметричную неустойчивую бифуркацию, характерную для сжатых неупругих стержней и пластины (рис. 9.13,б).

Пусть теперь

  (>0).

Тогда, согласно (9.12), имеем:

   

откуда при  получаем:

  (9.19)

 При >0, <0, <0 зависимость (9.19) имеет несимметричный вид (рис. 9.14,а). Прогибы после бифуркации растут при падающей нагрузке. Такая точка бифуркации называется неустойчивой. Она характерна для упругих оболочек. 

  Если >0, >0, <0, то бифуркация будет также несимметричной (рис. 9.14,б).

 

 а) б)

 Рис. 9.14

В расчетах на прочность, жесткость и устойчивость, производимых в сопротивлении материалов, для реальных конструкций приходится иметь дело не с простыми, а с достаточно сложными формами сечений. Их, однако, можно представлять состоящими из простейших. Такими простейшими формами сечений являются прямоугольник, круг, кольцо, треугольник, эллипс, а также простейшие стандартные прокатные профили: двутавровые сечения, швеллеры, равнобокие и неравнобокие уголковые профили, применяемые в строительстве и машиностроении, профили прессованные типа Пр-100, Пр-104, Пр-105, применяемые в конструкциях летательных аппаратов.

Часто подобные составные сложные сечения в целом не являются симметричными, что значительно усложняет производимые расчеты.

Для вычисления геометрических характеристик сложных сечений, состоящих из простейших фигур, они разбиваются на конечное число n простейших частей и в этом случае

 (1)

Определение положения центра тяжести сложных составных сечений производится по формулам

  (2),  (3)

где zi, yi - координаты центра тяжести каждой из простейших фигур.

Моменты инерции (осевые, полярные, центробежные) сложного сечения равны алгебраической сумме моментов инерции составляющих его простейших частей.

  (4)

Задача 2б. Определение геометрических характеристик несимметричного сечения Требуется: 1. Найти положение центра тяжести сечения. Поскольку сечение включает в себя несколько прокатных профилей, то следует воспользоваться таблицами сортамента стального проката, из которых выписать все нужные данные и начертить сечение в масштабе 1:1 или 1:2, или 1:4.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений