Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 1а. Расчет статически неопределимого бруса ступенчатого сечения Требуется: 1. Построить эпюру продольных сил. 2. Построить эпюру нормальных напряжений по длине бруса. 3. Проверить прочность бруса. Условие прочности: ( или R). 4. Построить эпюру перемещений сечений бруса.

Устойчивость сжатого стержня с шарнирно закреплёнными краями

 Л.Эйлер рассмотрел задачу с шарнирно опёртыми краями, т.е. с граничными условиями:

   при . (9.36)

Удовлетворяя решение (9.29) четырём условиям (9.36), получим систему четырёх уравнений относительно неизвестных постоянных

  

откуда получаем

 

Если , то Если , то  и откуда следует  где  Следовательно

 

откуда эйлерова бифуркационная нагрузка:

  (9.37)

 Минимальная бифуркационная сила имеет место при , т.е. при изгибе стержня по одной полуволне:

  (9.38)

 При  выпучивание возможно, если в точках смены знаков кривизны и прогибов установить дополнительные опоры (рис. 9.16) В этом случае .

 Рис. 9.16

9.5. Устойчивость стержней с иными

  видами закрепления

 Рассмотрим задачи о продольном изгибе сжатых стержней с иными видами закрепления их краёв. На рис. 9.17 представлены различные случаи закрепления краёв стержня. Случаи а) и б) уже рассмотрены нами в 9.4. Обратимся к другим случаям на рис. 9.17:

 а) Колонна с защемлённым нижним и свободным верхним краями

(рис. 9.17, в). Пусть при  стержень жёстко защемлён, а при  - свободен от закрепления.

  Граничные условия имеют вид

  при

  при  (9.39)

 115

Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.39) получим:

  

откуда находим

 Это условие может быть выполнено если  Мы получим

 

 Рис. 9.17

 В этом случае стержень остаётся в исходном прямолинейном состоянии равновесия, т.е. устойчив. Если то это приводит к значениям . Критическая сила с учётом  равна:

  .

Её наименьшее значение отвечает n = 0, т.е.

  . (9.40)

 116

 Уравнение изогнутой оси стержня при найденных значениях постоянных :

 

 Сравнивая (9.40) с (9.33) находим

 Эту задачу можно решить несколько иначе, воспользовавшись решением (9.28) уравнения (9.26) второго порядка. Для рассматриваемой задачи  где - прогиб незакреплённого края при  Тогда, согласно (9.28), имеем:

 

Удовлетворяя это решение граничным условиям:

  ,

получаем

 ,

откуда следует:  Это условие удовлетворяется, если положить

Тогда 

 Следовательно, оба решения приводят к одной критической силе Эйлера (9.40).

 б) Стержень с шарнирно опёртым и жёстко защемлённым краями. В этом случае граничные условия имеют вид

   (9.41)

 Подстановка общего решения (9.29) в (9.41) приводит к системе уравнений:

 

откуда находим  а также систему двух уравнений:

 

 Приравнивая к нулю определитель этой системы, находим уравнение

 

откуда получаем его наименьший корень: (рис. 9.18).

 

 Рис. 9.18

 С учётом  находим критическое значение силы Эйлера:

 . (9.42)

Сравнивая (9.42) с (9.33), получаем . Уравнение изогнутой оси имеет вид:

 

 в) Сжатый стержень с двумя жёстко защемлёнными краями

Граничные условия имеют вид:

 . (9.43)

Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.43), получим систему уравнений:

  

откуда находим:  и систему двух уравнений:

 

 Приравнивая к нулю определитель этой системы двух уравнений, получим соотношение:

 , которое будет выполнено, если

  либо .

Первое приводит к  и критической силе Эйлера при n = 1:

  (9.44)

Второе условие приводит к наименьшему значению  и критической силе Эйлера:

   

большей, чем значение, которое даёт формула (9.44). Таким образом, наименьшей критической силой для жёстко защемлённого по обоим концам стержня является (9.44), для которой . Уравнение изогнутой оси в этом случае описывается уравнением:

   

 г) Влияние упругого защемления на устойчивость сжатой колонны.

Рассмотрим сжатую стойку (колонну), нижний конец которой при z = 0 упруго защемлён (рис. 9.19). Мысленно рассечём узел и заменим упругую связь пружиной. Граничные условиями задачи будут:

 

Поскольку момент m заранее неизвестен, то следует дополнить условие совместности деформирования стержня и балки в узле при z = 0. Это дополнительное граничное условие имеет вид

 ,

где угол  найден из решения задачи об изгибе балки с помощью формулы Мора.

 

 а) б) 

 Рис. 9.19

Удовлетворяя теперь решение (9.24) граничным условиям, находим:

  

Решая полученную систему уравнений, находим:

  ,

откуда следует:

 .

 Если стержень жёстко защемлён при z = 0, то

  что с учётом

приводит к выражению критической силы Эйлера:

 

 Пусть  Тогда  и наименьшее значение корня этого трансцендентного уравнения  С учётом  получаем выражение критической силы для упругозащемлённого стержня при частных соотношениях геометрических параметров:

 

что в 1,74 раза меньше критической нагрузки при жёстком защемлении. Таким образом, упругое защемление концов стержня снижает критическое значение сжимающей силы.

Построить эллипс инерции сечения (рис. 8), если a=10 см.

  (10)

При этом центробежный момент инерции относительно главных центральных осей Iuv должен быть равен нулю, т.е.

  (11)

Главные моменты инерции Iu и Iv могут быть также определены по формулам:

  (12)

 (13)

При повороте осей координат удовлетворяется следующее равенство:

  (14)

Моменты сопротивления относительно главных центральных осей u и v могут быть подсчитаны по формулам:

  (15)  (16)

где umax, vmax - координаты точек сечения, наиболее удаленных от главных центральных осей u и v. Эти координаты можно вычислить, используя связь между координатами в повернутых на угол a0 осях по формулам:

  (17)

 (18)

1. Понятие о радиусе и эллипсе инерции сечения

Радиусом инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси, называется длина перпендикуляра, отсчитываемая от этой оси и вычисляемая по формуле:

 (19)   (20)

 (21)   (22)

Эллипс инерции - эллипс, построенный на полуосях, равных радиусам инерции (рис. 1). Он характеризует скорость изменения радиусов и



13. Что называется осевым, полярным и центробежным моментами инерции?

14. Какова размерность моментов инерции?

15. Какие из моментов инерции - величины всегда положительные?

16. В каком случае можно сразу определить, что центробежный момент инерции сечения равен нулю?

17. Как связаны между собой осевые моменты инерции относительно перпендикулярных осей и полярный момент инерции относительно точки пересечения этих осей?

18. В чем выражаются экстремальные свойства центральных осей инерции

19. Как записываются формулы перехода для осевого и центробежного моментов инерций при параллельном переносе осей, одна из которых центральная?

20. Чему равен осевой момент инерции прямоугольника относительно его центральной оси, параллельной основанию?

21. Как связаны между собой моменты инерции для двух систем координат, повернутых относительно друг друга на угол a ?

22. Как изменяется центробежный момент инерции при повороте осей координат на угол 90°?

23. Какие оси называются главными осями инерции?

24. Какие оси называются главными центральными осями инерции сечения?

25. Почему ось симметрии фигуры всегда является одной из главных осей инерции?

26. Как определяется момент инерции сложного сечения, если его можно разбить на простейшие фигуры, моменты инерций которых легко определяются по формулам или таблицам?

27. Каким образом может быть вычислен центробежный момент инерции уголкового профиля?

28. Укажите знаки, которые будет иметь центробежный момент инерции уголкового профиля, при различной его ориентации относительно осей координат?

29. Укажите один из вариантов положения главных осей инерции сечения (рис. 8).

30. Определить величину момента инерции сечения относительно оси y Iy - ? (рис. 10).

моментов инерций фигуры при повороте осей координат.

Задача 2б. Определение геометрических характеристик несимметричного сечения Требуется: 1. Найти положение центра тяжести сечения. Поскольку сечение включает в себя несколько прокатных профилей, то следует воспользоваться таблицами сортамента стального проката, из которых выписать все нужные данные и начертить сечение в масштабе 1:1 или 1:2, или 1:4.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений