Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 1а. Расчет статически неопределимого бруса ступенчатого сечения Требуется: 1. Построить эпюру продольных сил. 2. Построить эпюру нормальных напряжений по длине бруса. 3. Проверить прочность бруса. Условие прочности: ( или R). 4. Построить эпюру перемещений сечений бруса.

Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости.

 Формула Кармана 

 Теория устойчивости сжатого стержня за пределом упругости окончательно была построена Т. Карманом (Германия) в 1910 году. Он учёл, что нагрузка на вогнутой стороне стержня и разгрузка на выпуклой стороне при выпучивании происходят по различным законам (рис. 9.25):

 - при догрузке  

 - при разгрузке  

 Нейтральная ось дополнительных деформаций не совпадает с центральной осью, как при упругом изгибе, и определяется координатой yP. Поэтому представим их в виде:

  (9.65)

 

 

 Эп.  Эп.

 Рис. 9.25 Рис. 9.26

Величина yр даёт границу зон пластической догрузки и упругой разгрузки с площадями F1 и F2 соответственно. На границе раздела зон ур имеем:

  

откуда следует:

 

 Следовательно, выражение (9.65) можно записать в виде

  (9.66)

 Вычислим с учётом (9.65) дополнительные нормальную силу dN и момент М, возникающие при выпучивании стержня по методу проб Эйлера – Кармана – Зубчанинова:

 

откуда находим

  (9.67)

где

 

Так как

 

то, исключая F1, S1, J1, соотношения (9.67) приведём к виду:

  (9.68)

где

  (9.69)

 Величина К называется приведённым модулем Кармана – Ильюшина. С другой стороны, из уравнений равновесия отсечённой части стержня (рис. 9.16,б) имеем:

  (9.70)

 Сравнивая (6.66), (9.70), получим:

   (9.71)

  (9.72)

 Дифференцируя дважды уравнение (9.72), находим:

  

  (9.73)

 Применяя к исследованию устойчивости стержня метод проб, будем считать dP = 0 при сколь угодно малом выпучивании стержня. Тогда из (9.68), (9.71) следует уравнение

  (9.74)

из которого можно найти границу раздела зон yP = - C = const. При этом изгибная жёсткость D = kJ также будет постоянной величиной. Дифференциальное уравнение (9.73) может быть записано в виде:

   (9.75) 

где

  (9.76)

 Таким образом, задача о потере устойчивости за пределом упругости свелась к решению уравнения (9.75), которое совпадает с уравнением (9.27) для упругой задачи Эйлера. Отличие задач заключается в различии выражений (9.27) и (9.76) для величины К2 . Поэтому формула для нагрузки бифуркации за пределом упругости может быть получена из формулы Эйлера (9.33) простой заменой модуля Е на приведённый модуль К:

  (9.77)

 Формула (9.77) определяет бифуркационную нагрузку Кармана. Её также называют приведенно-модульной нагрузкой. Формула для бифуркационного значения напряжения имеет вид:  (9.78)

 Так как К зависит от , то построение диаграммы бифуркационных значений напряжений производится так же, как и для задачи Энгессера. Формула (9.75) представляется в виде:

  (9.79)

 Задавая , вычисляют , а затем гибкость и строят диаграмму  Вычислим приведённый модуль К для некоторых частных случаев поперечного сечения.

 а) Рассмотрим случай идеализированного двутавра (рис. 9.27,а).Геометрические характеристики сечения:

  

Уравнение (9.74) принимает вид

  

откуда находим границу раздела зон:

 

 а) б)

 Рис. 9.27 

Согласно соотношению (9.69) получим:

  (9.80)

 

 б) В случае прямоугольного сечения (рис. 9.27,б)

  

 Уравнение (9.74) принимает вид

  

откуда находим границу раздела зон:

 

 Приведённый модуль К, согласно (9.69), равен:

  (9.81)

 Из (9.74), (9.80) видно, что приведённый модуль явно зависит от Е, ЕК. Поэтому при построении диаграммы критических (бифуркационных) напряжений сначала строятся зависимости FK и К от . На основании диаграммы сжатия (рис. 9.28,а) находится касательный модуль ЕК как функция напряжения , а затем по формулам (9.69), либо (9.80), (9.81) вычисляется приведённый модуль К. После этого по формуле (9.79) строится диаграмма критических напряжений

 Приведём более простой вывод формулы Кармана для приведенно-модульной критической силы. Обозначим радиус кривизны нейтрального слоя буквой r в отличие от радиуса  оси стержня. Расстояние от нейтрального слоя до текущего волокна , а перемещение точек этого слоя

 

 а) б) в)

 Рис. 9.28 

Тогда дополнительные напряжения:

 

где принято

 

 Дополнительные нормальная сила и изгибающий момент:

  (9.82) 

где

 

статические моменты и моменты инерции площадей F1, F2 для зон пластической догрузки и упругой разгрузки; J = J1 + J2 – момент инерции всей фигуры относительно нейтральной оси,

  (9.83)

приведённый модуль Кармана. Из уравнения равновесия отсечённой части потерявшего устойчивость стержня имеем:

  

 140

Сравнивая с (9.82), получаем дифференциальные уравнения:

 

После двукратного дифференцирования первого уравнения получаем:

  (9.84)

где

  (9.85)

 Для случая идеализированного двутавра (рис. 9.27,а) второе уравнение (9.84) с учётом:

  

принимает вид

 

откуда

 

Следовательно,

 

 Аналогично можно получить выражение приведённого модуля для стержней прямоугольного сечения.

 Т. Карман не только создал теорию приведённого модуля, но и проверил её тщательно поставленными экспериментами. Опытные значения пределов устойчивости легли между кривыми, рассчитанными по теории приведённого модуля и теории продольного выпучивания сжатых стержней для эксцентриситета прилагаемых сжимающих сил, равно 0,005h где h – толщина прямоугольного поперечного сечения стержня.

 Исследования Энгессера, Кармана, Ясинского по созданию теории устойчивости сжатых стержней за пределом упругости оставили глубокий след в истории её развития.

Расчет на прочность.

Материал балки чугун, допускаемые напряжения для чугуна [σ] ≈ 30…80 МПа, примем [σ] = 75 МПа. Условие прочности имеет вид

 

где σmax – максимальные напряжения, возникающие в балке, Мmax – максимальный изгибающий момент, уmax – максимально удаленная точка по оси у от нейтральной линии балки.

Высота сечения балки 38,5а, положение нейтральной оси относительно низа сечения уС = 20,57а, следовательно расстояние до максимально удаленной точки

уmax = 38,5а – 20,57а = 17,93а.

Максимальный изгибающий момент находится в сечении С – Мmax = 21 кНм.

Исходя из условия прочности, найдем параметр а:

Полученное значение параметра округляем и принимаем (из ряда Ra 40 по ГОСТ 6636 – 86) а = 4 мм.

 

3.2. Проверочный расчет балки из прокатных профилей.

3.2.1. Расчет геометрических характеристик сечения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходные данные для расчета балки из прокатных профилей показаны на рис. 3.4. Сечение балки изображено на рис. 3.5.

Рассчитаем геометрические характеристики сечения. Осевой момент инерции для профиля №8 = 89,4 см4, А = 8,98 см2 (по ГОСТ 8240 – 89), тогда для составного сечения

Осевой момент сопротивления Wx = 22,4 см3 (по ГОСТ 8240 – 89), тогда для составного сечения

Задача 2б. Определение геометрических характеристик несимметричного сечения Требуется: 1. Найти положение центра тяжести сечения. Поскольку сечение включает в себя несколько прокатных профилей, то следует воспользоваться таблицами сортамента стального проката, из которых выписать все нужные данные и начертить сечение в масштабе 1:1 или 1:2, или 1:4.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений