Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 1а. Расчет статически неопределимого бруса ступенчатого сечения Требуется: 1. Построить эпюру продольных сил. 2. Построить эпюру нормальных напряжений по длине бруса. 3. Проверить прочность бруса. Условие прочности: ( или R). 4. Построить эпюру перемещений сечений бруса.

Устойчивость стержня в процессе нагружения за пределом упругости. Концепция Шенли

 В 1946 году американский учёный Ф. Шенли пришёл к мысли о том, что теория приведённого модуля Кармана отвечает лишь частной теории стержня. Он показал на модельной задаче, что в процессе нагружения стержень начнёт изгибаться при касательно-модульной нагрузке Энгессера с разгрузкой на выпуклой стороне (рис. 9.29). При приближении сжимающей силы к приведённо-модульному значению прогиб  устремляется к бесконечности. Если учесть при этом возможность появления вторичных пластических деформаций на выпуклой стороне от растяжения, то приведенно- модульная нагрузка не будет достигнута и неустойчивость наступит в предельной точке при нагрузке  называемой пределом устойчивости.

 

 Рис. 9.29

 В.Г. Зубчаниновым в 1969 г. было показано, что если при некотором значении силы Р0, меньшем касательно-модульного значения Рt, но большем значения  соответствующего переходу стержня в пластическое состояние, стержень начнёт изгибаться под действием малой поперечной нагрузки q, действие которой прекращается раньше, чем сжимающая сила Р достигает значения Рt, то изгиб стержня ликвидируется, если q достаточно мало, либо изгиб не ликвидируется, но стремится уменьшиться, если q недостаточно мало. В дальнейшем кривая процесса близка к процессу продолжающегося нагружения в смысле Шенли. Этим было доказано, что касательно-модульная нагрузка Энгессера – Шенли не является опасной для потери устойчивости, т.е. не является критической нагрузкой.

 Ф. Шенли показал, что в процессе нагружения идеально прямого стержня он начинает изгибаться при достижении сжимающей силой касательно-модульной нагрузки. В этот момент происходит нарушение единственности процесса деформирования, исключающее понятие неустойчивости , т.к. за этой бифуркацией решения не следует катастрофического развития перемещений, деформаций и напряжений. Неустойчивость наступает в предельной точке, называемой точкой бифуркаии Пуанкаре. Соответствующую нагрузку, Рm мы называем пределом устойчивости. Нельзя путать эту нагрузку с нагрузкой исчерпания несущей способности конструкции вследствие образования пластических шарниров. Процесс выпучивания после достижения силой Р значения предела устойчивости Рm называем послекри-тическим. Нагрузка Р при увеличивающихся перемещениях падает до нагрузки, которую мы назвали нагрузкой надёжности устойчивых состояний Рн:

  (9.86)

где Е* - предельное значение касательного модуля на диаграмме сжатия.

 На рисунках 9.30 – 9.31 приведены диаграммы сжатия для сплава дюралюминия Д16Т и стали 3 и диаграмма их критических напряжений. В таблицах даны результаты обработки этих диаграмм.

 а) диаграмма сжатия для дюралюмина Д16Т.

 б) диаграмма сжатия стали Ст.3.

 Рис. 9.30

 

 а) диаграмма «критическое напряжение – гибкость»

  для дюралюмина Д16Т.

 б) диаграмма «критическое напряжение – гибкость»

 для стали Ст. 3.

 Рис. 9.31

 Таблица 9.3. Расчётные параметры для дюралюмина Д16Т

 

 

МПа

 МПа

 МПа

 1

 2 

 3 

 4

 5

 6

 2,67

  3,0

 3,5

 4,0

 4,5

 5

 6

 7

  8

 200

 220

 246

  264

 278

 290

 308

 320

 332

 7,50

 5,96

  4,34

 3,72

 2,55

 2,05

 1,50

 1,17

  0,97

 7,50

 6,65

  5,50

 4,97

 3,81

 3.22

 2,50

 2,03

  1,72

 60,5

 54,7

  47,0

 43,0

 36,8

 33,0

 28,3

 25,0

  22,6

 60,5

 51,6

  42

 37,5

 30,2

 26,5

 22

 18,9

 17

 Таблица 9.3 (продолжение)

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 9

  10

 11

 12

 340

 345

 356

  364

 0,82

 0,82

  0,82

 0,82

 1,48

 1,48

  1,48

 1,48

 20,8

 20,6

  20,2

 20,0

 15,4

 15,3

  15,1

 14,9

 Таблица 9.4. Расчётные параметры для стали Ст. 3

 

 

 ,

 кг/см2

 кг/см2

 кг/см2

 0,95

  1,0

 1,1

 1,2

 1,3

 1,4

 1,5

 1,6

1,8 – 4,0

 4,5

 5

 6

 8

 10

  12

 2000

 2100

  2200

 2280

 2340

 2380

 2390

 2400

  2400

 2410

 2420

 2470

 2575

 2685

  2800

 2,10

 1,42

  0,99

 0,67

 0,46

 0,26

 0,13

 0,06

  0

 0,02

 0,04

 0,05

 0,05

 0,05

 0,05

 2,10

 1,72

  1,39

 1,05

 0,85

 0,54

 0,33

 0,19

  0

 0,07

 0,13

 0,15

 0,15

 0,15

 0,15

 102

 90

 79

  67,6

 59

 47,5

 37

 28

 0

 17

  23

 24,5

 24

 23,6

 23

 102

 81,8

 66,6

  54

 44

 32,7

 23,1

 15,7

 0

 9,1

  12,7

 14,2

 13,8

 13,6

 13,5

Построение эпюр внутренних силовых факторов.

Построим эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов. Возь-мем произвольное сечение на первом участке CD (0 ≤ z1 ≤ l3 = 0,6 м)(рис. 3.6,а).

Запишем уравнение для поперечной и продольной сил и изгибающего момента в произвольном сечении в пределах этого участка и рассчитаем их значения в характерных точках.

Возьмем произвольное сечение на участке ВС (0 ≤ z2 ≤ l2 = 0,2 м)(рис. 3.6,б). На данном участке:

Для участка АВ (0 ≤ z3 ≤ l1 = 0,5 м)(рис. 3.6,в) уравнения равновесия имеют следующий вид:

 

  По полученным значениям построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 3.4).

3.2.3. Расчет на прочность.

Материал швеллера Ст3. Допускаемые напряжения [σ] = 200 МПа. Рассчитаем максимальные напряжения, возникающие в балке, они находятся в сечении, где изгибающий момент достигает наибольшего значения.

Мmax = M(z1=l1) = 20,75 кНм

Условие прочности имеет вид σmax ≤ [σ]. Условие прочности не выполняется σmax = 269 МПа > [σ] = 200 МПа. Необходимо взять профиль больших размеров. Для этого, исходя из условия прочности, определим необходимое максимальное значение осевого момента сопротивления

Выберем  швеллер – ближайший из ряда швеллер №10. Тогда

.

Откуда максимальные напряжения <[σ] = =200 МПа – условие прочности выполнено.

Задача 2б. Определение геометрических характеристик несимметричного сечения Требуется: 1. Найти положение центра тяжести сечения. Поскольку сечение включает в себя несколько прокатных профилей, то следует воспользоваться таблицами сортамента стального проката, из которых выписать все нужные данные и начертить сечение в масштабе 1:1 или 1:2, или 1:4.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений