Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 1а. Расчет статически неопределимого бруса ступенчатого сечения Требуется: 1. Построить эпюру продольных сил. 2. Построить эпюру нормальных напряжений по длине бруса. 3. Проверить прочность бруса. Условие прочности: ( или R). 4. Построить эпюру перемещений сечений бруса.

Устойчивость стержней как элементов конструкций.

 Концепция Ильюшина – Зубчанинова

 Стержни являются, как правило, элементами различных стержневых конструкций. На рис. 9.32 изображена простейшая статически неопределимая система, в которую входит сжатый силой Р стержень. В докритическом состоянии (рис. 9.32,б) имеем известную зависимость:

  (9.87)

где - сближение концов стержня, - прогиб балки.

 

 а) б)

 Рис. 9.32

 В результате потери устойчивости при R = const произойдёт дополнительное сближение концов стержня  которое можно выразить через изменение сил путём дифференцирования (9.83):

  (9.88)

где

  

разгружающая жёсткость конструкции.

  Из (9.83) следует, что при потере устойчивости стержня   т.е. передаваемая на стержень нагрузка Р уменьшится. Такая конструкция для рассматриваемого стержня называется разгружающей конструкцией.

 Изменим конструкцию (рис. 9.33).

 

 а) б)

 Рис. 9.33

В докритическом состоянии имеем (рис. 9.33,а):

  (9.89)

где прогиб балки связан со сближением концов стержня зависимостью (рис. 9.33,б):

  (9.90)

Кроме того имеем очевидное соотношение:

  (9.91)

 Допустим, что произошла потеря устойчивости стержня при R = const, и он получил дополнительное сближение  своих концов, а балка получила дополнительный прогиб  (рис. 9.33,а). Дифференцируя (9.89) – (9.91), получим:

   

откуда следует:

 

 

где

 

Если k < 0, то dP > 0. Такая конструкция для данного стержня называется догружающей. Если k > 0, то вновь dP < 0, и мы имеем разгружающую систему.

 На рис. 9.34,а приведена статически неопределимая стержневая конструкция, нагруженная в узле А силой Q.

 

 а) б) в)

 Рис. 9.34

 Наклонные стержни конструкции с длинами  сжаты силами Р за пределом упругости, а вертикальный стержень длины а растянут усилием N в пределах упругости. Уравнение равновесия узла А (рис. 9.34,б) имеет вид

  (9.92)

 В результате деформации конструкции узел А перемещается вниз на величину , равную удлинению вертикального стержня:

  (9.93)

 Из рис. 9.34,в следует соотношение между удлинением  стержня и перемещением узла А конструкции:

   (9.94)

 Полученное соотношение представляет собой уравнение совместности деформаций  и  стержневой системы. Из рис. 9.34,в находим другое геометрическое соотношение:

  (9.95)

 Допустим, что при некотором критическом значении силы Qкр произошли потери устойчивости сжатых наклонных стержней в смысле Эйлера . В результате узел А/ получил перемещение  а у стержней АВ и АС концы сблизятся на расстояние . С учётом (9.92) – (9.95), получаем систему уравнений:

  

откуда после исключения  находим:

  (9.96)

 Из (9.91) следует, что при малых при заданных Q, EF,  жёсткость k может быть меньше нуля, а dP > 0. В этом случае стержни при потере устойчивости догружаются. При достаточно больших  можно получить k > 0, dP < 0. В этом случае стержни при потере устойчивости будут разгружаться. Если k = 0,

 

то стержни потеряют устойчивость в соответствии с теорией приведённого модуля Кармана.

 Таким образом, рассмотренная конструкция может быть как догружающей, так и разгружающей. Догружающее либо разгружающее действие конструкции на стержень оказывает существенное влияние на величину нагрузки бифуркации. Запишем первое уравнение (9.67) для границы раздела зон ур в развёрнутом виде:

  (9.97)

 Граница раздела зон ур заключена в пределах:

 

 Пусть  (см. рис. 9.27, 9.28). В этом случае все сечения полностью перейдут в упругое состояние.

Геометрические характеристики поперечного сечения стержня:

 

 Из (9.97) получаем:

  (9.98)

 Следовательно, этот случай реализуется в разгружающей системе. Жёсткость D, согласно (9.66), (9.67), (9.94), равна D = EJ. Решение уравнения (9.71) приводит к эйлеровой нагрузке РЭ (9.33).

Пусть теперь . В этом случае все сечения находятся в пластическом состоянии, так что

 

Из (9.97) следует:

  (9.99)

 Следовательно, этот случай реализуется в догружающих системах. Жёсткость D, согласно (9.68), (9.69), равна D = EKJ. Решение уравнения (9.73) приводит к касательно- модульной нагрузке Энгессера – Шенли (9.48).

  При dP = 0 имеем задачу Кармана, когда уР= -С, D= KJ. Бифуркационная нагрузка определяется приведенно-модульным значением (9.75). На рис. 9.35 приведены границы распределения пластических и упругих зон деформирования в продольном разрезе стержня. Таким образом, нагрузка бифуркации Р* при работе стержня за пределом упругости в догружающих системах лежит в интервале

  (9.100)

а при работе в разгружающих системах – в интервале:

  (9.101)

где  - нагрузка бифуркации для предельно жёсткой разгружающей системы (рис. 9.36).

 После бифуркации примерная зависимость между сжимающей силой Р и прогибом  изображена на рис. 9.36,а. Для интервала бифуркационных нагрузок (9.100) увеличение прогибов требует увеличения нагрузки Р в догружающих системах. Поэтому соответствующие этим нагрузкам точки бифуркации называются устойчивыми или докритическими. При нагрузках бифуркации из интервала (9.96) увеличение прогибов происходит при падающей нагрузке Р. Соответствующие точки бифуркации для изолированного стержня называются неустойчивыми (послекритическими).

 а)

 

 б)

 Рис. 9.35 

 

 а) б)

 Рис. 9.36

Однако при работе этого же стержня в разгружающей системе увеличение прогибов требует увеличения внешней нагрузки Q (рис. 9.36,б). Благодаря поддерживающему влиянию конструкции, стержню не грозит опасность катастрофического выпучивания. Поэтому все нагрузки бифуркации из интервала  оказываются устойчивыми, т.к. для них  Это означает, что если удержать стержень от выпучивания при касательно- модульной нагрузке с помощью какой-либо временной поддерживающей связи (рис. 9.37,а) и нагрузить силой из интервала  а затем снять временную связь, то стержень сохранит свое устойчивое состояние. 

 а) б)

 Рис. 9.37

 Отмеченное исключительное свойство пластически сжатого стержня, работающего в разгружающей системе, может быть использовано для повышения его устойчивости. Для этого следует применить систему време 153

нных поддерживающих связей, от которых впоследствии можно освободи-ться. Вместо дополнительных поддерживающих связей можно применить

иной метод – метод упругопластической тренировки, предложенной

В.Г. Зубчаниновым. Согласно ему стержень подвергается сжатию до заданной нагрузки Р>PK в заводских условиях на специальном стенде с поддерживающими связями, а затем разгружается (рис. 9.37).

 Элемент поступает на сборку конструкции. После тренировки зависимость между критическим напряжением и гибкостью становится иной, что отражает эффект использования временных поддерживающих систем и наличие целого спектра нагрузок бифуркации, которые естественно зависят от достигнутого пластического состояния и жёсткости стержня в момент выпучивания (рис. 9.38).

 Эффект увеличения критических нагрузок в разгружающих системах должен учитываться при расчёте составных элементов конструкций (слоистые стержни, плиты, подкреплённые рёбрами жёсткости и др.).

 

 а) б)

 Рис. 9.38

 На рис. 9.39 приведены результаты расчёта, выполненные для случая, когда стержень изготовлен из дюраля. Кривые 1, 2, 3 на рис. 9.39 соответствуют теории касательного модуля, приведенно–модульной теории и теории Эйлера для упругого стержня. Кривая 4 соответствует разработанной нами теории устойчивости разгружающих конструкций.

 Рис. 9.39

Расчет на жесткость балки из прокатных профилей.

Исходные данные и расчетная схема балки из прокатных профилей представлена на рис. 3.7.. Возьмем произвольное сечение z, как показано на рисунке. При этом продлим распределенную нагрузку на участке АВ до конца балки, а ее действие на участке BD компенсируем аналогичной распределенной нагрузкой противоположного знака.

Составим уравнение упругой линии балки:

Воспользуемся полученным универсальным уравнением для определения прогибов консоли в точках z = l1, z = l1 + l2, z = l1 + l2 + l3.

Из условия равновесия балки находим:

М0 = МА = 20,75 кНм, R0 = RA = – 40 кН.

Так как начало координат совпадает с заделкой в точке А, то геометрические начальные параметры – прогиб и угол поворота в начале координат равны нулю:

уА = у0 = 0; 

Вычислим прогибы в сечениях В,С и D. В сечении В прогиб

Уравнение прогиба на втором участке будет иметь вид

  В сечении D прогиб:

Вычислим углы поворота в сечениях В, С и D.

Угол поворота

Для сечения В угол поворота

Аналогично рассчитываем углы поворота в сечении С и D.

В сечении С угол поворота:

В сечении D угол поворота:

Допускаемые перемещения и углы поворота в опорах определяются из условия жесткости.

Условия жесткости по перемещениям в сечениях В, С и D и по углам поворота В, С и D не выполняются. Необходимо произвести мероприятия по увеличению жесткости конструкции.

Задача 2б. Определение геометрических характеристик несимметричного сечения Требуется: 1. Найти положение центра тяжести сечения. Поскольку сечение включает в себя несколько прокатных профилей, то следует воспользоваться таблицами сортамента стального проката, из которых выписать все нужные данные и начертить сечение в масштабе 1:1 или 1:2, или 1:4.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений