Курс сопротивления материалов. Примеры

Задача 1а. Расчет статически неопределимого бруса ступенчатого сечения Требуется: 1. Построить эпюру продольных сил. 2. Построить эпюру нормальных напряжений по длине бруса. 3. Проверить прочность бруса. Условие прочности: ( или R). 4. Построить эпюру перемещений сечений бруса.

Продольно-поперечный изгиб упругого стержня

 Рассмотрим упругий стержень постоянного поперечного сечения, сжатый силами Р (рис. 9.40,а). Отсечём от стержня часть его длиной z

(рис. 9.40,б). Уравнения его равновесия имеют вид

   (9.102) С другой стороны, изгибающий момент в поперечном сечении выражается через кривизну по формуле (9.21):

  (9.103)

Приравнивая отмеченные выше выражения моментов (9.102), (9.103) полу-чим:

 

 

 а) б)

 Рис. 9.40

Дифференцируя полученное уравнение два раза по z, последовательно находим:

  (9.104)

Введём обозначение

   

Тогда уравнение (9.104) примет вид

  (9.105)

 Общее решение (9.100) имеет вид

  (9.106)

где для q = const частное решение имеет вид

 Удовлетворяя решение (9.106) граничным условиям шарнирного опирания балки:

 

приходим к системе уравнений

  

откуда находим постоянные интегрирования:

 

 В результате общее решение задачи (9.101) принимает вид

 

При получаем максимальное значение прогиба:

  (9.107)

где  или

При  из (9.107) следует, что , а

 Если на балку действует только поперечная нагрузка q(z), то P = 0

(k2 = 0). Обозначим прогиб от поперечной нагрузки через V0. Тогда из (9.105) следует:

  (9.108)

 Уравнение (9.105) на основании (9.108) принимает вид:

  (9.109)

 В уравнении (9.104) прогиб V0 можно трактовать так же, как начальный технологический прогиб. Для изгибающего момента имеем выражение:

  

 Рассмотрим снова случай шарнирного опирания стержня по краям. Тогда при z = 0, имеем:

  

 Представим общее решение уравнения (9.107) и начальный прогиб V0 (либо прогиб от поперечной нагрузки) в виде рядов Фурье:

 

 Подставляя в (9.107) вместо V, V0 эти выражения, находим уравнение:

  

которое удовлетворится, если все фигурные скобки обращаются в нуль.

Это приводит к формуле:

  (9.110)

где

 

эйлеровы нагрузки бифуркации.

  Прогиб в середине стержня при  равен:

  

 При , согласно (9.110), имеем  

т.е. неограниченно увеличиваются перемещения от изгиба по одной полуволне. Все же другие формы остаются ограниченными. Следовательно, выпучивание шарнирно опёртого стержня по одной полуволне есть главная форма изгиба. Среди множества искривлений оси стержня можно учитывать лишь начальный прогиб по одной полуволне синусоиды. Это весьма важный для практических расчётов качественный результат, который следует учитывать при расчётах на устойчивость элементов конструкций.

  Максимальный прогиб может быть приближённо принят равным:

  

Согласно принятому критерию устойчивости сила

 

должна быть принята за предел устойчивости или критическую, так как при  

 Аналогичный результат можно получить для иных видов закрепления концов стержня.

Данные учебно-методические указания по курсу "Сопротивление материалов" предназначены для самостоятельной проработки студентами раздела курса "Расчет геометрических характеристик плоских несимметричных сложных сечений", для приобретения навыков в решении практических задач и задач, относящихся к Вашей расчетно-проектировочной работе "Расчет геометрических характеристик плоских сечений".

В пособии приводятся контрольные вопросы, которые могут быть предложены студентам при защите расчетно-проектировочной работы и подробно решенные примеры и алгоритмы решения некоторых типовых задач.

В учебно-методические указания включены элементы программированного обучения, что позволяет каждому студенту изучать этот материал в приемлемом для него индивидуальном темпе. В конце логически завершенных частей (порций) данного учебно-методического пособия приводятся разобранные примеры, а также упражнения, предназначенные для организации Вашей самостоятельной работы. Выполнение упражнений повышает активность усвоения учебного материала и дает возможность производить самоконтроль по усвоению изучаемого материала по приведенным в пособии упражнениям. Упражнения состоят из вопросов и задач, к которым даны ответы, указания и решения, чтобы оперативно проверить правильность их выполнения. Неправильные ответы анализируются и обсуждаются на приводимых здесь же консультациях.

Для лучшего усвоения порции учебного материала после проработки теоретической части и рассмотрения разобранных примеров рекомендуется выполнить 2/3 части вопросов, приводимых в каждом из упражнений. Если Вы ответили правильно более чем на 0.7 из них, можете переходить к изучению следующей порции расположенного далее учебного теоретического материала. Если же правильные ответы составляют менее 0.7, то необходимо еще раз проработать эту же порцию учебного материала, внимательно разобраться в ответах и консультациях к вопросам, на которые Вы недавно отвечали, а затем ответить на оставшиеся вопросы упражнений для самопроверки. Такой для Вас должна быть методика работы с данным пособием (см. схему I).

В заключении проработки учебно-методического пособия


4

Литература

В.И. Феодосьев, "Сопротивление материалов", М.: Наука, 1974.

А.В. Дарков, Г.С. Шпиро, " Сопротивление материалов", М.: Высшая школа, 1975.

"Сборник задач по сопротивлению материалов", Под. ред. А.А. Уманского, М.: Наука, 1973.

Н.М. Беляев, "Сборник задач по сопротивлению материалов", М.: Наука, 1966.

М.Н. Степнов, Е.В. Гиацинтов, В.А. Пашков. Расчет геометрических характеристик поперечных сечений простейших форм. Методические указания к решению задач и выполнению расчетно-проектировочной работы (с элементами программированного обучения). М.:МАТИ, 1983.

М.Н. Степнов, Е.В. Гиацинтов, В.А. Пашков. Расчет геометрических характеристик сложных симметричных сечений. Методические указания к решению задач и выполнению расчетно-проектировочной работы (с элементами программированного обучения). М.:МАТИ, 1983.

М.Н. Степнов, Е.В. Гиацинтов, В.А. Пашков. Определение положения главных центральных осей и вычисление относительно них геометрических характеристик несимметричных простейших сечений. Методические указания к решению задач и выполнению расчетно-проектировочной работы (с элементами программированного обучения). М.:МАТИ, 1983.

Статические моменты площади сечения. Центр тяжести сечения

Статическими моментами площади сечения относительно осей z и y, лежащих в плоскости этой фигуры (рис. 2), называются геометрические характеристики, определяемые формулами:

  (3)

 (4)

Размерность статического момента - единица длины в кубе (в сопротивлении материалов принято - см3).

Если известны положение центра тяжести сечения zc и yc (рис. 2) и его площадь F, то статические моменты определяют по формулам:

  (5)

 (6)

Из формул (5) и (6) следует, что статический момент площади плоской фигуры (сечения) относительно любой центральной оси равен нулю. Обратное положение также справедливо: если статический момент сечения относительно какой-либо оси равен нулю, то эта ось является центральной, т.е. проходит через центр тяжести сечения с.

В зависимости от положения сечения относительно осей координат статический момент может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Из (5) и (6) могут быть определены координаты центра тяжести фигуры

  (7)

 (8)

Для вычисления статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простейшие части (рис. 3), для каждой из которых известны площадь Fi и положение центра тяжести (zi, yi). Статические моменты всей фигуры относительно осей z и y соответственно будут равны:

  (9)

 (10)

Координаты центра тяжести сложной фигуры определяются:

  (11)

 (12)

Если сечение имеет ось симметрии, то центр тяжести находится на этой оси и его положение определяется одной координатой.

Если сечение имеет две и более осей симметрии, то центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей.

Задача 2б. Определение геометрических характеристик несимметричного сечения Требуется: 1. Найти положение центра тяжести сечения. Поскольку сечение включает в себя несколько прокатных профилей, то следует воспользоваться таблицами сортамента стального проката, из которых выписать все нужные данные и начертить сечение в масштабе 1:1 или 1:2, или 1:4.
Примеры расчёта стержневых систем методом перемещений